Question

В равнобедренном треугольнике АВС, ВD-высота,проведенная к основанию.Точки M и N принадлежат сторонам AB и BC соответственно.Луч DB-биссектриса угла MDN,Докажите,что AM=NC Если можно,то и рисунок,пожалуйста,но это не обязательно.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой:
∠ABD = ∠CBD,
∠MDB = ∠NDB так как DB - биссектриса угла МDN,
BD - общая сторона для треугольников MDB и NDB, ⇒
ΔMDB = ΔNDB по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что
BM = BN.

АМ = АВ - ВМ
CN = CB - BN
AB = CB как стороны равнобедренного треугольника АВС,
значит
AM = CN,

Answer 2

Решение:

Для доказательства того, что AM = NC, мы можем использовать свойства биссектрисы и высоты в равнобедренном треугольнике.

Из условия задачи, мы знаем, что BD является биссектрисой угла MDN и что D является основанием равнобедренного треугольника ABC. Также, D является основанием высоты, проведенной из вершины C.

Давайте рассмотрим треугольники AMD и CND:

- В треугольнике AMD: - AM - это отрезок, проведенный от вершины A до точки M на стороне AB. - MD - это отрезок, проведенный от вершины M до точки D на стороне BC. - BD - это биссектриса угла MDN.

- В треугольнике CND: - NC - это отрезок, проведенный от вершины N до точки C на стороне BC. - ND - это отрезок, проведенный от вершины N до точки D на стороне AB. - BD - это биссектриса угла MDN.

Так как BD является биссектрисой угла MDN, то угол AMD и угол CND равны. Это означает, что треугольники AMD и CND подобны.

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон в этих треугольниках:

- В треугольнике AMD: - AM/MD = AB/BC .

- В треугольнике CND: - NC/ND = BC/AB .

Так как треугольники AMD и CND подобны, то отношение сторон в них должно быть одинаковым:

AM/MD = NC/ND.

Так как MD = ND (по условию равнобедренности треугольника ABC), то мы можем записать:

AM/MD = NC/MD.

Теперь мы можем сократить MD с обеих сторон:

AM = NC.

Таким образом, мы доказали, что AM = NC.

Рисунок:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  /         \
 /           \
M-------------N
 \           /
  \         /
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       C

В данном рисунке, треугольник ABC - равнобедренный треугольник с основанием BC и высотой, проведенной из вершины C до основания BD. Точки M и N принадлежат сторонам AB и BC соответственно. Луч DB является биссектрисой угла MDN.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.