Question

Радиус окружности,вписанного в прямоугольный треугольник равен 2 сантиметров,а сумма катетов равна 17 сантиметров.Найти P(периметр) и S(площадь) этого треугольника.

Answer 1

Пусть расстояние от вершины одного острого угла до точки касания равно х
Тогда один катет равен
х+2
Второй
17-х-2
Гипотенуза равна сумме отрезков от острых углов треугольника до точек касания с окружностью по свойству касательных из одной точки к окружности.
х+ 17-х-2-2=13cм
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
(17 -х)²+х²=13²
289-34х+х²+х²=169
2х²-34х +120=0
D = b² - 4ac = 196
х1=5 см
х2=12 см
Один катет равен 5, второй 12
Площадь равна половине произведения катетов и равна
5*12:2=30 см²

Проверка

5²+12²=169

169=169

√169=13

Answer 2

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b сантиметрами. Тогда, согласно условию, a + b = 17.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 сантиметрам. Это означает, что расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника равно 2 сантиметрам.

Так как окружность вписана в треугольник, то радиус окружности является высотой треугольника, опущенной на гипотенузу.

Пусть h - высота треугольника. Тогда, согласно теореме Пифагора, h^2 = a^2 + b^2.

Так как радиус окружности равен 2 сантиметрам, то h = 2.

Таким образом, получаем уравнение: 2^2 = a^2 + b^2.

Из условия a + b = 17 можно выразить a или b и подставить в уравнение для нахождения другой переменной.

Пусть a = 17 - b. Подставляем в уравнение: 2^2 = (17 - b)^2 + b^2.

Раскрываем скобки: 4 = 289 - 34b + b^2 + b^2.

Упрощаем: 2b^2 - 34b + 285 = 0.

Решаем квадратное уравнение: b^2 - 17b + 142,5 = 0.

Дискриминант D = (-17)^2 - 4 * 1 * 142,5 = 289 - 570 = -281.

Так как дискриминант отрицательный, то у уравнения нет действительных корней.

Следовательно, нет такого прямоугольного треугольника, у которого радиус вписанной окружности равен 2 сантиметрам и сумма катетов равна 17 сантиметрам.