Question

Отрезок AB-гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Докажите,что прямая BC является касательной к окружности с центром A радиуса AC, а прямая AB не является касательной к окружности с центром C радиуса BC.

Answer 1

Касательная к окружности - прямая, которая пересекает окружность в одной точке, и в этой же точке перпендикулярна радиусу. AC - радиус, BC - прямая, не лежащая в окружности, ACB - прямой угол (т.к. треугольник прямоугольный). Значит BC - касательная. AB не является касательной как минимум потому, как пересекает центр окружности.

Answer 2

Доказательство касательности прямой BC к окружности с центром A и радиусом AC:

Для доказательства, что прямая BC является касательной к окружности с центром A и радиусом AC, мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что касательная к окружности в точке касания является перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку.

Шаг 1: Проведем радиус AO, где O - центр окружности.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOC. Он является прямоугольным, так как AC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC.

Шаг 3: В прямоугольном треугольнике AOC, угол AOC является прямым углом, так как это угол на окружности, опирающийся на диаметр AO.

Шаг 4: Прямая BC проходит через точку C и перпендикулярна радиусу AO, так как BC - катет прямоугольного треугольника ABC, а радиус AO проведен из центра окружности A.

Шаг 5: Таким образом, прямая BC является касательной к окружности с центром A и радиусом AC.

Доказательство некасательности прямой AB к окружности с центром C и радиусом BC:

Для доказательства, что прямая AB не является касательной к окружности с центром C и радиусом BC, мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что касательная к окружности в точке касания является перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку.

Шаг 1: Проведем радиус CO, где O - центр окружности.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник BOC. Он является прямоугольным, так как BC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC.

Шаг 3: В прямоугольном треугольнике BOC, угол BOC является прямым углом, так как это угол на окружности, опирающийся на диаметр CO.

Шаг 4: Прямая AB проходит через точку B, но она не перпендикулярна радиусу CO, так как AB - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, а радиус CO проведен из центра окружности C.

Шаг 5: Таким образом, прямая AB не является касательной к окружности с центром C и радиусом BC.

Доказательство касательности и некасательности прямых BC и AB к соответствующим окружностям основывается на свойствах прямоугольного треугольника ABC и свойствах касательной к окружности.