Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 1 и 3. Найдите длину проекции меньшего катета на гепотенузу.

Answer 1

Пусть С- вершина прямого угла, АС=1, СВ=3, а СН- высота треугольника
по теореме Пифагора найдем гипотенузу:
АВ=корень из(9+1)=корень из 10
теперь найдем высоту, используя формулы площадей:
S=1/2*АС*СВ=1/2*СН*АВ
откуда АС*СВ=СН*АВ,
СН=3/(корень из 10)
получаем подобные треугольники АВС и АСН, составим пропорцию:
АН/АС=НС/СВ
откуда получаем:
АН=1/(корень из 10)
ответ: 1/(корень из 10) 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и понятие подобия треугольников.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Математически это можно записать следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2,

где c - длина гипотенузы, a и b - длины катетов.

Подобие треугольников

Два треугольника считаются подобными, если их углы соответственно равны. Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны.

Теперь приступим к решению задачи.

Решение

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором катеты равны 1 и 3. Обозначим эти катеты как a и b соответственно. По теореме Пифагора, длина гипотенузы c может быть найдена следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2

Подставляя значения катетов:

c^2 = 1^2 + 3^2

c^2 = 1 + 9

c^2 = 10

Теперь найдем длину проекции меньшего катета на гипотенузу. Обозначим эту длину как x. Мы знаем, что треугольники подобны и имеют пропорциональные стороны. Таким образом, отношение длины проекции к длине гипотенузы будет равно отношению длины меньшего катета к длине гипотенузы:

x / c = a / c

Упрощая выражение:

x = a

Подставляя значения:

x = 1

Таким образом, длина проекции меньшего катета на гипотенузу равна 1.