Question

две окружности с центрами в точках о и о1 и радиусами 5 и 3 соответственно касаются сторон угла А (В и В1 - точки касания), Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ1 = 4.

Answer 1

Ясно, что центры О и О1 лежат на биссектрисе угла А.

Треугольник АВ1О1 имеет стороны 3,4,5 ("египетский" треугольник). АО1 = 5.

Треугольник АВО подобен ему, причем стороне 3 треугольника АВ1О1 соответствует сторона 5 треугольника АВО. Поэтому АО = (5/3)*АО1 = 25/3.

О1О = АО - АО1 = 25/3 - 5 = 10/3.

 

Эти окружности НЕ КАСАЮТСЯ. Центр большей окружности лежит за пределами меньшей, а центр меньшей - ВНУТРИ большей.

Answer 2

Пусть центры окружностей обозначены как O и O1, а точки касания с отрезком AB1 обозначены как В и В1. Радиусы окружностей равны 5 и 3 соответственно.

Заметим, что треугольник OAB1 и треугольник OO1B1 подобны, так как у них соответственные углы равны (по свойству касательных и хорд). А значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

По условию известно, что AB1 = 4. Пусть x - расстояние между центрами окружностей OO1.

Тогда, по пропорции:

AB1/OB1 = OA/OO1

4/3 = 5/(5+x)

4(5+x) = 3*5

20 + 4x = 15

4x = 15 - 20

4x = -5

x = -5/4

Так как расстояние не может быть отрицательным, то получаем, что расстояние между центрами окружностей равно -5/4.

Ответ: расстояние между центрами окружностей равно -5/4.