Question

Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8см проведены касательные AM и BM (A и B - Точки касания).Найдите периметр треугольника ABM,если угол AOB=120 градусов.

Answer 1

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания, а отрезки касательных АМ и ВМ равны по свойству касательных из одной точки. Следовательно, прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по катету и общей гипотенузе. Тогда <AOM=<BOM=60°, а <АМО=<BMO=30° и МО=16см, так как ОА=ОВ=8см - катет против угла 30°.По Пифагору АМ=ВМ=√(16²-8²)=8√3см.
Треугольник АВМ равносторонний, так как угол при его вершине равен 60°.
Следовательно, его периметр равен 3*8√3=24√3см.
Ответ: периметр равен 24√3 см.

Answer 2

Чтобы найти периметр треугольника ABM, нам сначала нужно найти длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся свойствами касательных, проведенных из точки M к окружности.

Нахождение длины сторон треугольника ABM

Для начала заметим, что по свойству касательных, угол AMO является прямым углом, так как AM - касательная. Аналогично, угол BMO также является прямым углом, поскольку BM - касательная.

Теперь мы можем использовать свойства треугольника с прямыми углами для вычисления длин сторон треугольника ABM.

Пусть AM = x и BM = y.

Тогда, используя теорему Пифагора в треугольнике AMO, получаем:

AO^2 = AM^2 + OM^2

Так как угол AMO прямой, то OM = 8 (радиус окружности).

Таким образом, у нас есть:

AO^2 = x^2 + 8^2

Аналогично, в треугольнике BMO, получаем:

BO^2 = BM^2 + OM^2

BO^2 = y^2 + 8^2

Так как угол BMO также прямой, то OM = 8.

Нахождение угла AOB

У нас дано, что угол AOB = 120 градусов. Так как угол AOB - центральный угол и стоит над дугой AB, то угол AOB равен удвоенному углу AMB (угол, образованный хордой AB и касательными AM и BM в точке M).

Поэтому угол AMB = 120/2 = 60 градусов.

Нахождение длины стороны AB

Теперь мы можем найти длину стороны AB, используя закон синусов в треугольнике AMB.

Закон синусов гласит:

AB / sin(AMB) = AM / sin(ABM)

Заметим, что угол ABM - прямой угол, поскольку BM - касательная.

Таким образом, у нас есть:

AB / sin(60) = x / sin(90)

Так как sin(90) = 1, получаем:

AB = x

То есть, сторона AB имеет длину x.

Нахождение периметра треугольника ABM

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABM, используя длины сторон AM, BM и AB.

Периметр треугольника ABM = AM + BM + AB = x + y + x = 2x + y.

Таким образом, периметр треугольника ABM равен 2x + y.