Question

№7. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(4; 2; 1), В(3; -1; 0), С(-6; -2; 5), D(-5; 1; 6)- параллелограмм.

Answer 1

Использован признак параллелограмма

Answer 2

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия:

1. Противоположные стороны параллельны. 2. Противоположные стороны равны по длине.

Проверка параллельности противоположных сторон

Для проверки параллельности сторон AB и CD, а также сторон BC и AD, можно вычислить векторное произведение этих сторон и проверить, равно ли оно нулю. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что стороны параллельны.

Для вычисления векторного произведения двух векторов, можно использовать следующую формулу:

AB x CD = (y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), BC x AD = (y3 - y2)(z4 - z2) - (z3 - z2)(y4 - y2).

где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) и (x4, y4, z4) - координаты точек A, B, C и D соответственно.

Для данного четырехугольника ABCD с координатами вершин:

A(4, 2, 1), B(3, -1, 0), C(-6, -2, 5), D(-5, 1, 6)

можно подставить значения в формулу и вычислить векторные произведения:

AB x CD = (2 - (-1))(5 - 1) - (1 - 1)(6 - 1), BC x AD = (-2 - (-1))(6 - 0) - (5 - (-1))(1 - 0).

После вычисления получим:

AB x CD = 3 * 4 - 0 = 12, BC x AD = -1 * 6 - 6 * 1 = -12.

Как видно, AB x CD = BC x AD, что означает, что стороны AB и CD, а также стороны BC и AD параллельны.

Проверка равенства длин противоположных сторон

Для проверки равенства длин сторон AB и CD, а также сторон BC и AD, можно вычислить расстояние между соответствующими вершинами и сравнить их значения.

Для вычисления расстояния между двумя точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) можно использовать формулу:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).

Подставив значения координат вершин в формулу, получим:

AB = sqrt((3 - 4)^2 + (-1 - 2)^2 + (0 - 1)^2), CD = sqrt((-5 - (-6))^2 + (1 - (-2))^2 + (6 - 5)^2),

BC = sqrt((-6 - 3)^2 + (-2 - (-1))^2 + (5 - 0)^2), AD = sqrt((-5 - 4)^2 + (1 - 2)^2 + (6 - 1)^2).

После вычисления получим:

AB = sqrt((-1)^2 + (-3)^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 9 + 1) = sqrt(11), CD = sqrt((-1)^2 + (3)^2 + (1)^2) = sqrt(1 + 9 + 1) = sqrt(11),

BC = sqrt((-9)^2 + (-1)^2 + (5)^2) = sqrt(81 + 1 + 25) = sqrt(107), AD = sqrt((-9)^2 + (-1)^2 + (-5)^2) = sqrt(81 + 1 + 25) = sqrt(107).

Как видно, AB = CD и BC = AD, что означает, что стороны параллелограмма равны по длине.

Вывод

Таким образом, оба условия - параллельность противоположных сторон и равенство длин противоположных сторон - выполняются для данного четырехугольника ABCD. Поэтому мы можем сделать вывод, что данный четырехугольник является параллелограммом.