Question

Треугольник АВС вписан в окружность радиусом кв. корень из 2. Его вершины делят окружность на три части в отношении 1:2:3. Найдите сторону правильного треугольника, площадь которого ровна площади треугольника АВС

Answer 1

если вершины треуг делят окружность в отношении 1:2:3, то пусть дуга ВА=х, СВ=2х, АС=3х, х+2х+3х=360

6х=360

х=60

тогда угол С==30, А=60, В=90( свойство вписанного угла=половине дуги, на которую опирается), значит треуг. прямоуг., центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, по условиюR=sqrt(2), значит АС=2*sqrt(2), AB=sqrt(2)(против угла в 30 гр.)S тр.АВС=2*sqrt(2)*sqrt(2)*sin 60/2=sqrt(3)

S равностор.треуг.=a^2*sqrt(3)/4(формула)

a^2*sqrt(3)/4=sqrt(3)

a^2=4

a=2

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства радиуса вписанной окружности и отношения площадей треугольников.

Радиус вписанной окружности

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Мы знаем, что радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне треугольника, и точка касания лежит на окружности. Таким образом, в треугольнике АВС у нас есть три радиуса, перпендикулярных к сторонам треугольника, и они равны r.

Отношение площадей треугольников

Мы знаем, что вершины треугольника АВС делят окружность на три части в отношении 1:2:3. Это означает, что площади секторов в нужных нам отношениях. Пусть площадь сектора, соответствующего углу А, равна S. Тогда площадь сектора, соответствующего углу В, будет равна 2S, а площадь сектора, соответствующего углу С, будет равна 3S.

Площади треугольников

Общая площадь треугольника АВС равна сумме площадей трех секторов. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

S + 2S + 3S = S_треугольника,

где S_треугольника - площадь треугольника АВС.

Упрощая это уравнение, получаем:

6S = S_треугольника.

Площадь треугольника

Так как треугольник АВС является правильным, то его площадь можно выразить через сторону. Пусть сторона треугольника равна a. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

S_треугольника = (sqrt(3) * a^2) / 4,

где sqrt(3) - квадратный корень из 3.

Решение

Теперь мы можем объединить уравнение для площади треугольника и уравнение для площадей трех секторов:

6S = (sqrt(3) * a^2) / 4.

Разрешая это уравнение относительно стороны a, получаем:

a = (sqrt(2) * sqrt(3)) / 3.

Таким образом, сторона правильного треугольника, площадь которого равна площади треугольника АВС, равна (sqrt(2) * sqrt(3)) / 3.

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.