Question

В параллелограмме ABCD лучAT (T∈BC) -биссектриса острого угла, градусная мера которого равна 60°. Известно ,что AB=6см , а TC=2см. Найти длины диагоналей параллелограмма. Надо решить через cos или sin !

Answer 1

∠TAB=60° : 2=30° (AT - биссектриса)
∠B=180° - ∠A=180° - 60°=120° (∠A и ∠B - внутренние односторонние
                                                    углы при параллельных прямых).
∠BTA=180°-(∠TAB+∠B)=180°-(30°+120°)=30° (сумма углов Δ)
ΔABT - равнобедренный.
АB=BT=6 cм

BC=BT+TC=6 +2=8 см
BC=AD=8 см (противоположные стороны)

BD²=AB²+AD²-2AB*ADcos60°=
      =6²+8² -2*6*8*(1/2)=36+64-48=52
BD=√52=2√13 (см) 

AC²=AB²+BC²-2AB*BCcos120°=
      =6²+8²-2*6*8*cos(90°+30°)=
      =36+64-96*(-sin30°)=100-96*(-1/2)=100+48=148
AC=√148=2√37 (см)

Ответ: 2√13 см  и  2√37  см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Нахождение длины диагонали AC:

Для начала, найдем длину диагонали AC. Обозначим угол между диагоналями AC и BD через α. Так как луч AT является биссектрисой угла A, то угол DAT равен 30° (половина 60°).

Используя теорему косинусов для треугольника DAT, получаем:

AC^2 = AD^2 + DT^2 - 2 * AD * DT * cos(30°)

Заметим, что DT = TC = 2см и AD = AB = 6см.

Подставляя известные значения, получаем:

AC^2 = 6^2 + 2^2 - 2 * 6 * 2 * cos(30°)

AC^2 = 36 + 4 - 24 * cos(30°)

AC^2 = 40 - 24 * cos(30°)

Так как cos(30°) = √3 / 2, можем продолжить вычисления:

AC^2 = 40 - 24 * (√3 / 2)

AC^2 = 40 - 12√3

AC^2 ≈ 17.89 (округлим до сотых)

Отсюда, длина диагонали AC равна:

AC ≈ √17.89 ≈ 4.23 см.

Нахождение длины диагонали BD:

Теперь найдем длину диагонали BD. Обозначим угол между диагоналями AC и BD через β. Так как угол A равен 60°, то угол B равен 180° - 60° = 120°. Значит, угол ABD равен 120° - α.

Используя теорему косинусов для треугольника ABD, получаем:

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(120° - α)

Подставляя известные значения, получаем:

BD^2 = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(120° - α)

BD^2 = 36 + 36 - 72 * cos(120° - α)

BD^2 = 72 - 72 * cos(120° - α)

Заметим, что cos(120° - α) = -cos(α), поскольку cos(120° - α) = cos(α - 120°) = cos(α) * cos(120°) + sin(α) * sin(120°) = -cos(α). Следовательно,

BD^2 = 72 - 72 * (-cos(α))

BD^2 = 72 + 72 * cos(α)

Так как cos(α) = cos(30°) = √3 / 2, можем продолжить вычисления:

BD^2 = 72 + 72 * (√3 / 2)

BD^2 = 72 + 36√3

BD^2 ≈ 138.55 (округлим до сотых)

Отсюда, длина диагонали BD равна:

BD ≈ √138.55 ≈ 11.77 см.

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны AC ≈ 4.23 см и BD ≈ 11.77 см.