Question

. В трапеции проведены два параллельных основанию отрезка. Один проходит через точку пересечения диагоналей и равен 1,6. Другой, равный 2, делит её на две подобные трапеции. Найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые делят её два данных отрезка.

Answer 1

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
$PK$ ║ $BC$
$LF$ ║ $AD$
$PK=1.6$
$LF=2$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$
$BP:PL:AL-$ ?

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
Пусть $BC=a,$  а $AD=b$   $a\ \textless \ b$
1) Δ $AOD$ подобен Δ $BCO$ ( по двум углам)
$\frac{AO}{OC} =\frac{AD}{BC}= \frac{a}{b}$
Δ $APO$ подобен Δ $ACB$  ( по двум углам)
$\frac{AO}{AC}= \frac{PO}{BC}= \frac{b}{a+b}$
Значит, $PO= \frac{BC*b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$
Аналогично:
Δ $DOK$ подобен Δ $DBC$ (по двум углам) ⇒ $OK= \frac{ab}{a+b}$
$PK=OK+OP$
$PK= \frac{2ab}{a+b}$
$PK=1.6$
$\frac{2ab}{a+b}=1.6$

2) трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ (по условию) ⇒ $\frac{a}{LF} = \frac{LF}{b}$
$LF^2=ab$
$LF=2$ ⇒ $ab=4$
Составим систему уравнений и решим:
$\left \{ {{ \frac{2ab}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{ \frac{2*4}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a+b}=5} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {b(5-b)-4=0} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {b^2-5b+4=0} \right.$
$b^2-5b+4=0$
$D=(-5)^2-4*1*4=9$
$b_1= \frac{5+3}{2}=4,$     $a_1=5-4=1$
$b_2= \frac{5-3}{2} =1,$     $a_2=5-1=4$
$BC=1,$   $AD=4$

3) Проведем $BZ$ ║ $CD$ ⇒ $ZBCD-$ параллелограмм
$BC=ZD=1$
$BZ$ ∩ $PK=T$
$BZ$ ∩ $LF=Q$
$AZ=AD-ZD=4-1=3$
$PT=PK-KT=1.6-1=0.6$
$LQ=LF-QF=2-1=1$

4) Обозначим $BP=x,$  $LP=y$
$BL=LP+PB=x+y$
Δ $PBT$ подобен Δ $LBQ$ (по двум углам)
$\frac{PB}{BL} = \frac{PT}{LQ}$
$\frac{x}{x+y} = \frac{0.6}{1}$
$x=0.6(x+y)$
$x=0.6x+0.6y$
$0.4x=0.6y$
$2x=3y$
$x=1.5y$
$BP=1.5y$
$BL=y+1.5y=2.5y$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ 
$\frac{AL}{LB} = \frac{LF}{BC}$
$\frac{AL}{2.5y} = \frac{2}{1}$
${AL}=5y$
Получаем,что 
$BP:PL:AL=x:y:5y$
$x=1.5y$
$BP:PL:AL=1.5y:y:5y$ 
или сокращая на y получим:
$BP:PL:AL=1.5:1:5$

Ответ: $BP:PL:AL=1.5:1:5$
рисунок в приложении

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим отрезки следующим образом:

Пусть отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и равный 1.6, будет обозначен как "x". Пусть другой отрезок, который делит трапецию на две подобные трапеции и равный 2, будет обозначен как "y".

Нахождение отношения отрезков боковой стороны

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства подобных фигур. Если две фигуры подобны, то соответствующие стороны этих фигур имеют одинаковые отношения.

Таким образом, чтобы найти отношение отрезков боковой стороны, на которые делят трапецию два данных отрезка, мы можем использовать подобные трапеции, образованные этими отрезками.

Разделение трапеции на две подобные трапеции

Для нахождения отношения отрезков боковой стороны, мы можем использовать свойство подобия трапеций. Давайте рассмотрим две подобные трапеции, образованные отрезками "x" и "y".

Так как отрезок "y" делит трапецию на две подобные трапеции, отношение высот этих трапеций будет равно отношению отрезков "y" и "x". Пусть высота первой трапеции будет обозначена как "h1", а высота второй трапеции - "h2".

Тогда мы можем записать следующее соотношение:

h1 / h2 = y / x

Решение уравнения

Теперь, чтобы решить это уравнение и найти отношение отрезков боковой стороны, воспользуемся данными из условия задачи.

Условие говорит, что отрезок "x" равен 1.6, а отрезок "y" равен 2.

Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

h1 / h2 = 2 / 1.6

Чтобы упростить это соотношение, мы можем умножить обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

10 * h1 / h2 = 10 * 2 / 1.6

Упрощая выражение, получаем:

10 * h1 / h2 = 12.5

Теперь, чтобы найти отношение отрезков боковой стороны, мы можем выразить "h1" через "h2" и использовать это выражение:

h1 = (12.5 * h2) / 10

Таким образом, отношение отрезков боковой стороны будет равно:

Отношение отрезков боковой стороны = h1 / h2 = ((12.5 * h2) / 10) / h2

Теперь мы можем решить это уравнение и найти искомое отношение отрезков боковой стороны.