Question

В треугольнике KLM стороны KM=17, LM=13, KL=18. Окружность, проходящая через точки K и L, пересекает прямые МК и ML соответственно в точках P и Q, отличных от вершин треугольника KLM. Отрезок PQ касается окружности, вписанной в треугольник KLM. Найдите длину отрезка PQ

Answer 1

Сложная формулировка, а решается как раз просто :)
Четырехугольник KPQL одновременно и вписан в окружность, то есть сумма противоположных углов равна 180°, и описан вокруг окружности, что означает, что суммы противоположных сторон равны.
Поэтому угол PKL + угол PQL = 180°; то есть угол PKL = угол PQM; 
Таким образом, треугольники KML и QMP подобны.
Если теперь обозначить KL = c; KM = a; ML = b; то MQ = a*x; MP = b*x; PQ = c*x;
где x - коэффициент подобия.
KP + QL = KL + PQ; 
a - b*x + b - a*x = c + c*x; 
(a + b)*(1 - x) = c*(1 + x); и все дела :)
x = (a + b - c)/(a + b +c);
PQ = c*x;
Если теперь подставить числа, получится x = 1/4; PQ = 9/2;

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства касательных и вписанных углов окружности.

Найдем радиус вписанной окружности

В треугольнике KLM, можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности, которая связывает площадь треугольника с полупериметром и радиусом вписанной окружности:

r = √((p - KM)(p - LM)(p - KL) / p)

где r - радиус вписанной окружности, KM, LM и KL - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр треугольника KLM:

p = (KM + LM + KL) / 2 = (17 + 13 + 18) / 2 = 48 / 2 = 24

Теперь, найдем радиус вписанной окружности:

r = √((24 - 17)(24 - 13)(24 - 18) / 24) = √(7 * 11 * 6 / 24) = √(462 / 24) = √19.25 ≈ 4.385

Найдем длину отрезка PQ

Поскольку отрезок PQ касается окружности, то он будет перпендикулярен радиусу в точке касания и будет равен длине касательной. Так как PQ касается вписанной окружности, то его длина будет равна радиусу вписанной окружности:

PQ = r ≈ 4.385

Таким образом, длина отрезка PQ составляет примерно 4.385.