Question

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.Угол АВС=150 градусов,АС=12 корней из 2 (см).Радиус окружности,описанной около треугольника МВС,равен 2 корня из 6 (см).Найдите радиус окружности,описанной около треугольника АВМ.

Answer 1

Пусть AB = c; BC = a; АС = b (задано, b = 12*корень(2)); AM = MC = b/2; угол МВС = Ф;

Из теоремы синусов для тр-ка ВМС (R1 - радиус описанной окружности, R1 = 2*корень(6);)

2*R1*sin(Ф) = b/2; отсюда sin(Ф) = b/(4*R1);

Из теоремы синусов для тр-ка ВМA (R2 - радиус описанной окружности, R2 надо найти; В - это угол АВС = 150 градусов)

2*R2*sin(В - Ф) = b/2; отсюда R2 = b/(4*sin(B - Ф));

На самом деле это уже ответ. 

Но для полноты картины надо подставить числа и максимально упростить.

Для начала видно, что

sin(Ф) = 12*корень(2)/(4*2*корень(6)) = корень(3)/2. 

Угол с таким синусом в треугольнике может быть либо 60 градусов, либо 120 (соответственно, cos(Ф) принимает значение либо 1/2 либо (-1/2); )

Если Ф = 60 градусов, то В - Ф = 90 градусов, sin(В - Ф) = 1; и R2 = b/4 = 3*корень(2); 

Если Ф = 120 градусов, то В - Ф = 30 градусов, sin(В - Ф) = 1/2; и R2 = b/2 = 6*корень(2);

У меня получилось 2 решения.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство медианы треугольника.

Нахождение стороны треугольника

У нас уже есть значение стороны AC, которая равна 12 корней из 2 см. Для нахождения стороны AB мы можем воспользоваться теоремой косинусов. В треугольнике ABC, где угол ABC равен 150 градусов, мы можем применить теорему косинусов следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - остальные две стороны треугольника, C - угол противолежащий стороне c.

В нашем случае, a = AC = 12 корней из 2 см, b = BC, c = AB и C = 150 градусов. Подставляя эти значения в формулу, мы можем решить уравнение относительно b:

AB^2 = (12 корней из 2)^2 + BC^2 - 2 * (12 корней из 2) * BC * cos(150 градусов)

Нахождение радиуса описанной окружности треугольника МВС

У нас также есть радиус окружности, описанной около треугольника МВС, который равен 2 корня из 6 см. Радиус описанной окружности треугольника можно найти с помощью формулы:

R = (abc) / (4S)

где R - радиус описанной окружности, a, b и c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Мы можем найти площадь треугольника МВС, используя формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, который можно найти как:

p = (a + b + c) / 2

Нахождение радиуса описанной окружности треугольника АВМ

Теперь, когда у нас есть сторона AB, мы можем использовать ту же формулу для нахождения радиуса описанной окружности треугольника АВМ. Заменим стороны треугольника МВС на стороны треугольника АВМ в формуле:

R = (abm) / (4S)

где R - радиус описанной окружности треугольника АВМ, a, b и m - стороны треугольника АВМ, S - площадь треугольника АВМ.

Мы можем найти площадь треугольника АВМ, используя формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - m))

где p - полупериметр треугольника, который можно найти как:

p = (a + b + m) / 2

Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи. Давайте подставим значения и найдем радиус описанной окружности треугольника АВМ.