Question

Длины диагоналей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны 2 корней из десяти см, 2 корней из семнадцати см и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Answer 1

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
А1С1=$2 \sqrt{10}$, А1В=$2 \sqrt{17}$, A1D=10.
Обозначим измерения параллелепипеда буквами a, b, c:
АА1=а, АВ=b, AD=с.

Рассмотрим прямоугольные треугольники А1В1С1, А1АВ и А1АD.
По теореме Пифагора:
$b^{2} + c^{2} = (2\sqrt{10} )^{2}$
$a^{2} + b^{2} = (2\sqrt{17} )^{2}$
$a^{2} + c^{2} = 10^{2}$

Выразим a, b и с из этих выражений.
$a^{2} = 100 - c^{2}$
$c^{2} =40 - b^{2}$
$b^{2} = 68 - a^{2}$

$a^{2} = 100 - (40 - b^{2} )= 60+68- a^{2}$
$2a^{2} =128$
$a^{2} =64$
$a=8$

$64+ c^{2} =100$
$c=6$

$b^{2} +36=40$
 $b=2$

Диагональ параллелепипеда находится по формуле:
$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
$d^{2} =64+4+36$
$d = \sqrt{104} =2 \sqrt{26}$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, исходя из данных о длинах трех его диагоналей.

Для начала, давайте обозначим длины диагоналей следующим образом: - Диагональ, равная 2 корня из 10 см, обозначим как d1. - Диагональ, равная 2 корня из 17 см, обозначим как d2. - Диагональ, равная 10 см, обозначим как d3.

Мы знаем, что эти три диагонали имеют общую вершину. Давайте представим прямоугольный параллелепипед, чтобы лучше понять расположение этих диагоналей.

Представление прямоугольного параллелепипеда

Пусть A, B и C - это вершины прямоугольного параллелепипеда, а a, b и c - это длины его ребер, соответственно. Тогда диагонали будут проходить через эти вершины следующим образом:

- Диагональ d1 будет проходить через вершины A и C. - Диагональ d2 будет проходить через вершины A и B. - Диагональ d3 будет проходить через вершины A и B.

Теперь, чтобы найти длину диагонали параллелепипеда, нам нужно найти расстояние между двумя вершинами, через которые проходят все три диагонали.

Расчет длины диагонали параллелепипеда

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить длину диагонали параллелепипеда через длины диагоналей, которые имеют общую вершину.

Пусть x - это длина диагонали параллелепипеда. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

x^2 = d1^2 + d2^2 + d3^2

Подставим известные значения:

x^2 = (2√10)^2 + (2√17)^2 + 10^2

Упростим:

x^2 = 4*10 + 4*17 + 100 x^2 = 40 + 68 + 100 x^2 = 208 + 100 x^2 = 308

Чтобы найти x, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

x = √308

Округлим это значение до более удобного числа:

x ≈ 17.57 см

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет примерно 17.57 см.