Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD длина диагонали AC составляет 3/4 длины диагонали BD. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника ABCD равны друг другу и равны 15. Найти стороны параллелограмма с вершинами в серединах сторон четырёхугольника ABCD.

Answer 1

Смотрим рисунок, данный в приложении. 

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые  соединяют середины сторон ABCD,являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒ 

Четырехугольник КМНР - параллелограмм. 

 Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника   диагонали получившегося параллелограмма. 

Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР  равны половине диагоналей АВСD. 

Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4

КР=ВD:2=а/2

КМ=АС:2=3а/8 

По условию диагонали прямоугольника равны 15. 

Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР. 

МР²=КМ²+КР²

15²=(3а/8)²+(а/2)²

225=9а²/64+а²/4 ⇒

25а²/64=225 откуда 

а²=576

а=24

КР=МН=24:2=12

КМ=РН=24:8•3=9

Answer 2

Для начала обозначим точки, в которых соединяются середины противоположных сторон четырехугольника ABCD: точки M, N, P, и Q. Таким образом, отрезки MN, NP, PQ, и QM равны между собой и равны 15.

Так как длина диагонали AC составляет 3/4 длины диагонали BD, то можно предположить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Из этого следует, что стороны параллелограмма равны друг другу и диагонали пересекаются в их серединах.

Теперь мы можем использовать найденные отрезки MN, NP, PQ, и QM для нахождения сторон параллелограмма. Так как они равны 15, то каждая сторона параллелограмма равна 15.

Таким образом, стороны параллелограмма с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD равны 15.