Question

В треугольнике стороны а, в, с равны 5, 6 и 7м соответственно. Найдите высоту и медиану которые проведены к стороне 7м и радиус окружности, описанной около треугольника

Answer 1

Площадь треугольника находим по формуле Герона

р=(5+6+7)/2=9 м

$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}=6 \sqrt{6}$

S=7·h/2

6√6=7·h/2     ⇒    h=12√6/7

R=a·b·c/4S

R=(5·6·7)/(4·6√6)=35/(4√6) 

По теореме косинусов

6²=5²+7²-2·5·7·сosω   (  ω- угол против стороны 6)

сosω=19/35

Медиана, проведенная к стороне 7, делит эту сторону пополам

По теореме косинусов из треугольника со сторонам 5; 3,5 и медианой m

m²=5²+3,5²-2·5·3,5·cos ω

m²=25+12,25-35·cosω 

m²=25+12,25-35·(19/35)

m²=18,25

m=√73/2

Answer 2

Для начала найдем высоту, медиану, и радиус описанной окружности треугольника.

Нахождение высоты треугольника

Для нахождения высоты треугольника, проведенной к стороне 7м, мы можем воспользоваться формулой: \[ h = \frac{2 \cdot \text{Площадь треугольника}}{a} \]

где \( a \) - основание треугольника, а площадь треугольника можно выразить через заданные стороны, используя полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \] \[ \text{Площадь} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

Нахождение медианы треугольника

Медиана, проведенная к стороне 7м, разделит эту сторону на две равные части. Длина медианы \( m \) может быть найдена по формуле: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

Нахождение радиуса описанной окружности

Радиус описанной окружности треугольника может быть найден по формуле: \[ R = \frac{abc}{4 \cdot \text{Площадь треугольника}} \]

Вычисление

Вычислим значения, используя заданные стороны треугольника \( a = 5м, b = 6м, c = 7м \):

1. Найдем полупериметр треугольника \( p \): \[ p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \]

2. Найдем площадь треугольника: \[ \text{Площадь} = \sqrt{9 \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} \]

3. Найдем высоту: \[ h = \frac{2 \cdot \sqrt{216}}{5} = \frac{2 \cdot \sqrt{216}}{5} \]

4. Найдем медиану: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 98 - 25} = \frac{1}{2} \sqrt{145} \]

5. Найдем радиус описанной окружности: \[ R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot \sqrt{216}} = \frac{210}{4 \cdot \sqrt{216}} \]

Таким образом, мы найдем значения высоты, медианы и радиуса описанной окружности треугольника.