Question

Перпендикуляры опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ делят ее на три равные части. Меньшая сторона прямоугольника равна а. Найдите длину большей стороны.

Answer 1

Обозначим каждую часть диагонали х
Вся диагональ 3х
Имеем равнобедренный треугольник у которого основание  равно 2х. Боковые стороны а. высота такого треугольника равна √а²-х²
Площадь треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами прямоугольника равна
1/2 ·3х ·√а²-х²

С драгой стороны вторая сторона прямоугольника по теореме Пифагора
равна√(3х)²-а²
Площадь треугольника образованного диагональю и двум сторонами равна половине произведения сторон

1/2 · а ·√9х²-а²

ПРиравняем и решим уравнение
9х^4=a^4
3x²=a²
x=a√3/3
диагональ равна а·√3
вторая сторона по теореме ПИфагора а√2

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства перпендикуляров и прямоугольников.

Свойства перпендикуляров

Перпендикуляры опущенные из вершин прямоугольника на его диагональ делят ее на три равные части. Это значит, что каждый из этих перпендикуляров делит диагональ на отрезки равной длины.

Свойства прямоугольника

Прямоугольник имеет две пары параллельных сторон, и диагонали прямоугольника являются равными и взаимно перпендикулярными.

Решение

Пусть длина меньшей стороны прямоугольника равна "a". По свойству прямоугольника, диагонали прямоугольника будут равными и взаимно перпендикулярными.

Пусть "b" - это длина большей стороны прямоугольника. Так как каждый перпендикуляр делит диагональ на три равные части, то отрезок, образованный перпендикуляром, будет составлять 1/3 диагонали.

Таким образом, каждый перпендикуляр будет состоять из двух отрезков длиной "b/3" и "2b/3" соответственно.

Мы знаем, что перпендикуляры опущены из вершин прямоугольника на его диагональ. Поэтому, если мы нарисуем прямоугольник и его диагональ, мы увидим, что сумма длин перпендикуляров будет равна длине диагонали.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: b/3 + b/3 + 2b/3 = длина диагонали

Поскольку диагонали прямоугольника равны и взаимно перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой "c" и катетами "a" и "b" выполняется следующее уравнение: a^2 + b^2 = c^2

Так как диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, мы можем записать уравнение: a^2 + a^2 = c^2

Следовательно, c^2 = 2a^2

Теперь мы можем решить уравнение для длины диагонали "c": c = sqrt(2a^2)

Так как каждый перпендикуляр делит диагональ на три равные части, мы можем записать следующее уравнение: b/3 + b/3 + 2b/3 = sqrt(2a^2)

Раскроем скобки и упростим уравнение: 2b/3 + 2b/3 = sqrt(2a^2)

Упростим дроби: 4b/3 = sqrt(2a^2)

Возведем обе части уравнения в квадрат: (4b/3)^2 = (sqrt(2a^2))^2

Упростим: 16b^2/9 = 2a^2

Теперь мы можем решить это уравнение для длины большей стороны "b": b = sqrt((9/2)a^2)

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника равна sqrt((9/2)a^2).