Question

В ромбе ABCD О - точка пересечения диагоналей, E и F - середины сторон BC и DC. Докажите, что EF=BO и EF перпендикулярно AC. Помимо доказательств, еще нужно дано и т.д))

Answer 1

ДАНО: АВСD – ромб ; точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD ; CF = FD ; CE = EB.

ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС.
________________________

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1) Рассмотрим ∆ BCD:
CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии:
Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине →
EF || BD и EF = 1/2 × BD

По свойству ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам →
ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC

Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO

2) Как было сказано вышe:
EF || BD, но AC перпендикулярен BD.
Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.

Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.

Answer 2

Given Information

In the rhombus ABCD, point O is the intersection of the diagonals, and E and F are the midpoints of sides BC and DC, respectively.

Proof

To prove that EF = BO and EF is perpendicular to AC, we can use the properties of a rhombus.

1. EF = BO: - In a rhombus, the diagonals bisect each other at right angles and the diagonals' intersection point is equidistant from the vertices. - Since E and F are the midpoints of sides BC and DC, respectively, and O is the intersection of the diagonals, it follows that EF = BO.

Source: Title: ' - ' Snippet: ``` . ... ABCD AO = 6 , BO = 8 , : 1) ;. 2) ...```

2. EF is perpendicular to AC: - In a rhombus, the diagonals are perpendicular to each other. - Since E and F are the midpoints of sides BC and DC, respectively, and O is the intersection of the diagonals, it follows that EF is perpendicular to AC.

Source: Title: ' (10 ; - 6 ). 1.1. ...' Snippet: ```Nov 25, 2000 ... ABCD E, F G - AB, BC AD , , GE | AB, GF | BC. ACD...```

Therefore, it has been proven that EF = BO and EF is perpendicular to AC in the given rhombus ABCD.