Question

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB = BC) биссектриса AE пересекает высоту BD в точке О,причем OB/OD=3/1 . Найдите BK/KD,где K-точка пересечения высоты AF с высотой BD.

Answer 1

Посмотрите рисунок с  решнием

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и высоты в равнобедренном треугольнике.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота BD является медианой и биссектрисой, а также она делит угол A на два равных угла. Таким образом, треугольник ABD является прямоугольным, а высота AF является высотой этого треугольника.

Теперь обратим внимание на треугольник AOB. Мы знаем, что OB/OD=3/1. Обозначим OD=x, тогда OB=3x. Так как треугольник AOB прямоугольный, то по теореме Пифагора получаем: AB^2 = AO^2 + OB^2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB=BC, следовательно, AO=OC. Тогда получаем: 2AO^2 + 9x^2 = 4x^2. Отсюда находим, что AO=x√5.

Теперь обратим внимание на треугольник AFO. Так как треугольник ABD прямоугольный, то AF является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора получаем: AF^2 = AO^2 + OF^2. Так как треугольник AFO прямоугольный, то OF=FD. Таким образом, получаем: AF^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2. Отсюда находим, что AF=x√3.

Теперь обратим внимание на треугольник ABD. Мы знаем, что BK/KD=AF^2/FD^2. Так как AF=x√3, то FD=x. Подставляем значения и получаем: BK/KD=3.

Итак, ответ: BK/KD=3.