Question

Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(-2;-3), B(1;4), C(8;7), D(5;0), является ромбом, и найдите его площадь.Пожалуйста, опишите последовательно действия для решения задания.

Answer 1

Решение: 
Найдем длины сторон: 
АВ=√(25+0)=5 
AD=√(9+16)=5 
СD=√(25+0)=5 
Найдем уравнения сторон АВ и СD 
(x-3)/(-5)=(y-3)/0 
y-3=0 
y=3 - уравнение АВ 
(x+5)/5=(y+1)/0 
y+1=0 
y=-1 - уравнение стороны CD, 
так как стороны AB ||CDавны - то АВСD - параллелограмм, а так как АВ=AD - то АВСD - ромб

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является ромбом, нужно проверить выполнение следующих условий: 1. Все стороны четырехугольника равны между собой. 2. Диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой.

Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: AB = √((1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2) = √(3^2 + 7^2) = √(9 + 49) = √58 BC = √((8 - 1)^2 + (7 - 4)^2) = √(7^2 + 3^2) = √(49 + 9) = √58 CD = √((5 - 8)^2 + (0 - 7)^2) = √((-3)^2 + (-7)^2) = √(9 + 49) = √58 DA = √((-2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2) = √((-7)^2 + (-3)^2) = √(49 + 9) = √58

Таким образом, мы видим, что все стороны четырехугольника ABCD равны между собой: AB = BC = CD = DA = √58.

Теперь проверим, что диагонали перпендикулярны между собой. Для этого найдем координаты середины каждой диагонали и убедимся, что их произведение нулевое:

Середина диагонали AC: ((-2 + 8)/2; (-3 + 7)/2) = (3; 2) Середина диагонали BD: ((1 + 5)/2; (4 + 0)/2) = (3; 2)

Так как координаты середин диагоналей AC и BD совпадают (3; 2), то диагонали перпендикулярны между собой.

Таким образом, у нас есть доказательство того, что четырехугольник ABCD является ромбом.

Чтобы найти площадь ромба, мы можем воспользоваться формулой: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Диагонали ромба мы уже нашли ранее: d1 = √((8 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2) = √(10^2 + 10^2) = √200 d2 = √((5 - 1)^2 + (0 - 4)^2) = √(4^2 + 4^2) = √32

Теперь можем найти площадь ромба: S = (√200 * √32) / 2 = (√(200 * 32)) / 2 = (√6400) / 2 = 80 / 2 = 40

Итак, площадь ромба ABCD равна 40 квадратных единиц.