Question

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием 4 корень 15 вписан в окружность радиуса 16. Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

Answer 1

Формула радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника:
R=a²/√(4a²-b²), где a - боковая сторона треугольника, b - его основание.
Подставим известные значения: 16=a²/√(4a²-240). Пусть а²=Х.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
256=Х²/(4Х-240). Имеем квадратное уравнение: Х²-1024Х+61440=0.
Отсюда  Х=512±√(512²-61440)=512±√(512²-61440)=512±448.
Х1=960; Х2=64. Тогда а1=8√15; а2=8.
Но при боковой стороне треугольника равной 8 треугольник получается ТУПОУГОЛЬНЫМ. (По признаку существования треугольника: "если с - большая сторона и если a² + b² < c², то треугольник тупоугольный", а в нашем случае 64+64<240). Значит а=8 нас не удовлетворяет, так как не выдерживается условие, что треугольник ОСТРОУГОЛЬНЫЙ.
Центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам. Тогда расстояние от центра до боковой стороны найдем из прямоугольного треугольника АНО, в котором гипотенуза - радиус описанной окружности, а катет - половина боковой стороны.
OH=√[R²-(a/2)²]=√(256-240)=4.
Ответ: расстояние от центра окружности до боковой стороны равно 4.

Answer 2

Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника. Так как у нас есть основание и радиус вписанной окружности, мы можем использовать формулу для высоты треугольника, которая равна произведению основания на квадратный корень из разности квадрата половины основания и квадрата радиуса вписанной окружности.

Высота h треугольника равна: h = 2 * √(r^2 - (b/2)^2)

где r - радиус вписанной окружности, b - основание треугольника.

Подставим известные значения: h = 2 * √(16^2 - (4√15/2)^2) h = 2 * √(256 - 120) h = 2 * √136 h = 2 * 2√34 h = 4√34

Теперь, чтобы найти расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника, мы можем использовать теорему о высоте равнобедренного треугольника. Расстояние от центра окружности до боковой стороны равно половине высоты треугольника.

Таким образом, расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника равно: d = (1/2) * 4√34 d = 2√34

Итак, расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника равно 2√34.