Question

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и середину противоположного ребра проведена плоскость ,образующая с плоскостью основания угол 60 градусов площадь сечения равна S=8√3.Найдите объём и полную поверхность призмы.

Answer 1

Площадь основания равна площади сечения, умноженной на косинус угла наклона.
So = 8√3*cos 60° = 8√3*(1/2) = 4√3.
Отсюда находим сторону основания по формуле площади равностороннего треугольника:
S = а²√3/4.
Сторона равна: а = √(4So/√3) = √(4*4√3/√3) = 4.
Находим высоту h основания (она равна проекции высоты сечения на основание):
h = a*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Высота H призмы равна:
H = 2h*tg 60° = 2*2√3*√3 = 4*3 = 12.
Периметр основания Р = 3а = 3*4 = 12.
Площадь боковой поверхности Sбок = РН = 12*12 = 144.
Полная площадь поверхности призмы равна:
S = 2So + Sбок = 2*4√3 + 144 = 8√3 + 144 ≈ 157,8564 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства треугольной призмы и плоскости сечения.

Найдем объем призмы:

Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы.

В данной задаче, у нас правильная треугольная призма, поэтому основание призмы является равносторонним треугольником. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Так как у нас угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 60 градусов, то площадь сечения равна S = 8√3.

Чтобы найти длину стороны треугольника (a), мы можем использовать следующее соотношение: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Решим данное уравнение относительно a: 8√3 = (a^2 * sqrt(3)) / 4 Умножим обе части уравнения на 4: 32√3 = a^2 * sqrt(3) Делим обе части уравнения на sqrt(3): 32 = a^2 Извлекаем квадратный корень: a = sqrt(32) = 4√2

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания (a), мы можем найти площадь основания (S основания): S основания = (a^2 * sqrt(3)) / 4 = (4√2)^2 * sqrt(3) / 4 = 16 * 3 = 48

Теперь нам нужно найти высоту призмы (h). Мы можем использовать теорему Пифагора для этого, так как у нас есть прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной стороны основания.

Для нахождения h, мы можем использовать следующее соотношение: h^2 = a^2 - (a/2)^2 = (4√2)^2 - (2√2)^2 = 16*2 - 4*2 = 32 - 8 = 24. Извлекаем квадратный корень: h = sqrt(24) = 2√6.

Теперь у нас есть длина стороны основания (a) и высота призмы (h). Мы можем найти объем призмы следующим образом: V = S основания * h = 48 * 2√6 = 96√6.

Найдем полную поверхность призмы:

Полная поверхность призмы состоит из площади основания, плюс площадей боковых граней.

Так как у нас правильная треугольная призма, у которой основание является равносторонним треугольником, площадь одной боковой грани можно найти по формуле: S боковой грани = a * h / 2, где a - длина стороны основания, а h - высота призмы.

В нашем случае, S боковой грани = (4√2) * (2√6) / 2 = 4√2 * √(2*6) / 2 = 4√2 * √12 / 2 = 4√2 * 2√3 / 2 = 4 * 2 * √2 * √3 / 2 = 8√6.

Так как у нас есть площадь основания (S основания) и площадь одной боковой грани (S боковой грани), мы можем найти полную поверхность призмы следующим образом: S полная поверхность = S основания + 2 * S боковой грани = 48 + 2 * 8√6 = 48 + 16√6.

Таким образом, объем призмы равен 96√6, а полная поверхность призмы равна 48 + 16√6.