Question

Биссектрисы углов а и д трапеции авсд пересекаются в точке м, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка м равноудалена от прямых АВ, АД и СД

Answer 1

Трапеция АВСД, нижнее основание АД, верхнее основание ВС, углы при нижнем основании А и Д - острые, а при верхнем В и С - тупые.
АМ - биссектриса <А, значит <ВАМ=<ДАМ
ДМ - биссектриса <Д, значит <СДМ=<АДМ
Удаленность точки от прямой измеряется длиной перпендикуляра на прямую.
ΔАВМ и ΔСДМ - тупоугольные, значит их высоты, проведенные из острой вершины, попадают не на сторону этого треугольника, а на ее продолжение.
Т.е. высота ΔАВМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны АВ - обозначим высоту МК.
Аналогично высота ΔСДМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны СД - обозначим высоту МР.
Также опустим из точки М высоту ΔАМД - обозначим высоту МН.
Нужно доказать МК=МР=МН.
ΔАВМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН
ΔАКМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН
ΔДРМ=ΔДНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (ДМ-общая, <РДМ=<НДМ), значит МР=МН.
Следовательно, МК=МР=МН.