Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Answer 1

Обозначим сторону основания (у нас он квадрат) как $x$   , тогда опустим перпендикуляр на основания из вершины пирамиды , из прямоугольного треугольника образованный при  проведений высоты , получаем  что катет будет равен половине диагонали квадрата, а он равен $d=a\sqrt{2}\\ 0.5d=0.5a\sqrt{2}$
откуда $\frac{0.5a\sqrt{2}}{sin30}=12\\ a=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$ .  Теперь опустим высоты боковой грани , получим что она равна из прямоугольного треугольника другого  $L=\sqrt{ 12^2-(\frac{6\sqrt{2}}{2}^2)}=\sqrt{144-18}=\sqrt{126}\\ S_{bok}=\frac{4*6\sqrt{2}*\sqrt{126}}{2}=24\sqrt{63}\\ S_{pov}=(6\sqrt{2})^2+24\sqrt{63}=72+72\sqrt{7}=72(1+\sqrt{7})$