Question

Пожалуйста помогите решить задачу, желательно подробно, очень хочу понять почему у меня не сходится с ответом дан треугольник abc и отрезки aa1, bb1 и cc1 - его высоты, причем aa1:bb1:cc1=2:3:4, а периметр треугольника abc равен 130. найдите длину наименьшей стороны треугольника abc.

Answer 1

Обозначим высоты как h1, h2, h3, а стороны к которым они проведены а1, а2 и а3.

Площадь треугольника можно вычислить через любую его сторону и высоту, проведённую к ней. Площадь при каждом вычислении будет одинаковая, значит все варианты можно приравнять. Деление на два при этом можно сразу сократить.

h1:h2:h3=2:3:4=2x:3x:4x ⇒ h1=2x, h2=3x, h3=4x.

h1·a1=h2·a2=h3·a3,

2x·a1=3x·a2 ⇒ 2·a1=3·a2 ⇒ a1:a2=3:2.

3x·a2=4x·a3 ⇒ a2:a3=4:3, значит отношение сторон треугольника:
а1:а2:а3=3:2:1.5. Пусть это отношение будет 3у:2у:1.5у. Очевидно, что сторона а3 - наименьшая.
Периметр Р=а1+а2+а3=3у+2у+1.5у,
6.5у=130,
у=20,
а3=1.5у=30 - это ответ.