Question

Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN=4,LM=2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS:SN=1:3. Найдите площадь треугольника STL.

Answer 1

  Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная . 
Проведем  из  точки $O$-центра окружности радиус  к хорде   $LM$     .    Тогда угол  $LTM=30а$ так как она опирается на ту же дугу что центральный угол $LOM$ который равен ее половине $60а$ , так как $OL=OM=2=LM$ правильный треугольник . 
Заметим что $LS$ медиана     $KS=OS=1$ , треугольник $LSO$ прямоугольный, тогда    $LS=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ . 
 По свойству хорд получаем 
 $TS*SM=KS*SM\\ TS*SM=3\\ SM=\sqrt{2^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{7}$ 
          $TS=\frac{3}{\sqrt{7}}$  
 $TL^2+\frac{9}{7}-2TL*\frac{3}{\sqrt{7}}cos30=3\\ TL=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\\ S_{STL} = \frac{\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\frac{3}{\sqrt{7}}}{2}*\frac{1}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$