Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 16 см и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите площадь основания пирамиды

Answer 1

Т.к. пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник, центром которого является проекция вершины пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой пирамиды в качестве одного из катетов и с боковым ребром в качестве гипотенузы.

Найдём оставшейся катет, он будет равен 8,т.к. лежит против угла в 30 градусов и равен половине гипотенузы.

Т.к. в основании пирамиды лежит правильны треугольник, следовательно в его центре будут пересекаться медианы, делящие друг друга в отношении 2:1 считая о вершины. Следовательно, найденный нами катет(8), является 2/3 медианы,а так же и высоты треугольника,лежащего в основании.(т.к. равносторонний).Следовательно вся медиана(и высота)=12.

Теперь найдём высоту пирамиды из треугольника с гипотенузой 16:

По т-ме Пифагора: 256-64=192

Катет равен корню из 192=высоте пирамиды.

Зная высоту пирамиды найдём высоты треугольника-боковой грани:

h=192+1/3 медианы= 192+16=208,значится высота боковой грани или апофема равна корень из 208.

Зная высоту и боковое ребро боковой грани ,найдём его основание.

По т-ме Пифагора: 256-208=248

Умножим на 2(т.к. нашли лишь половину) и получим 2 корня из 248.

И, наконец, найдём площадь основания через высоту=12,и найденную выше и основание=2 корня из 248.

S осн.=1/2 h*S=1/2(12*2 корня из 248)=12 корней из 248.

Ответ:12 корней из 248.

P.S. Простите за кучу писанины, камера вышла из строя, но я думаю, Вам под силу разобраться! ;)