Question

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции abcd пересекаются в точке F.Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G.Найдите FG,если средняя линия трапеции равна 19,боковые стороны 13 и 15

Answer 1

Пусть ∠АFM=x, ∠BFM=y, тогда ∠ВАД=2х, ∠АВС=2у.
В трапеции ∠А+∠В=180°,
2х+2у=180,
х+у=90°.
В тр-ке ABF ∠ABF+∠BAF=x+y=90° ⇒ ∠АFB=90°. Аналогично ∠СGD=90°.
В прямоугольном тр-ке медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. 
В тр-ке BMF BM=MF=y, значит ∠BMF=180-2y.
∠BAD=180-∠ABC=180-2y=∠BMF, значит АД║MF, значит F∈МК. 
Аналогично G∈МК.
MF=AB/2, GK=CD/2.
FG=MK-MF-GK=MK-(AB+CD)/2=19-(13+15)/2=5 - это ответ.