Question

Докажите, что множество точек, делящих все хорды, проведённые из данной точки окружности, в данном отношении есть окружность.

Answer 1

Надо сделать следующее - провести из заданной точки диаметр, отметить на нем точку, которая делит этот большой диаметр в нужной пропорции, и провести ПРОИЗВОЛЬНУЮ хорду из этой точки, и на ней тоже отметить аналогичную точку. 
Если теперь соединить концы диаметра и хорды, то получится прямоугольный треугольник. А если соединить отмеченные точки на диаметре и хорде, то полученный отрезок прямой будет делить и диаметр и хорду в одинаковом отношении, то есть будет параллелен отрезку, соединяющему концы хорды и диаметра.
То есть отрезок, соединяющий отмеченные точки, ВСЕГДА перпендикулярен хорде.
Это и означает, что отмеченная точка на хорде лежит на окружности, которая построена, КАК НА ДИАМЕТРЕ, -  на отрезке диаметра исходной окружности, выходящего из заданной точки, так, что конец этого отрезка, которой не лежит на окружности, делит этот большой диаметр в нужной пропорции. 
Если точка лежит на этой окружности - угол, соединяющий точки на хорде и на диаметре, прямой, если нет - не прямой.