Question

В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла С ,а в треугольнике АСН-бисс-а СЕ. Докажите что СВ=ВЕ

Answer 1

Обозначим в ΔАВС углы х=∠А, у=∠В.
Выразим другие углы через х и у.
Т.к. ∠А и ∠В - острые углы прямоугольного ΔАВС, то ∠А+∠В=90°, поэтому х=90°-у.
Аналогично, ∠НСВ и ∠В - острые углы прямоугольного ΔНВС, тогда ∠НСВ+∠В=90°, поэтому ∠НСВ=90°-∠В=90°-у = х.
Т.к. ∠АСВ=90°, то ∠АСН=90°-х.
Т.к. СЕ - биссектриса ∠АСН, то ∠АСЕ=∠НСЕ=$\frac{90^o-x}{2} =45^o- \frac{x}{2}$
Рассмотрим ΔЕСВ. У него:
∠ЕСВ = ∠СНЕ+∠НСВ = $45^o- \frac{x}{2} +x=45^o+\frac{x}{2}$
Рассмотрим ΔЕСН. У него:
∠СЕН = 90°-∠НСЕ = $90^o-(45^o-\frac{x}{2} )=45^o+\frac{x}{2}$
Итак, получили в ΔЕСВ ∠ЕСВ=∠СЕВ=$45^o+\frac{x}{2}$
Значит, ΔЕСВ - равнобедренный с основанием СЕ. Значит, ВЕ=ВС.
Доказано.

Answer 2

∠BCE= ∠C-∠ECA = 90-∠HCA/2
∠CEB= 90-∠HCE = 90-∠HCA/2 (сумма острых углов прям. треуг. равна 90)
∠BCE=∠CEB => △EBC равнобедренный, CB=BE