Question

Окружность касается всех сторон равнобокой трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.

Answer 1

Трапецию можно вписать в окружность только если сумы её противоположных сторон равны. Средняя линия равна половине суммы основ, а значит, она равна и половине сумы боковых сторон, а так как трапеция равнобокая, то боковая сторона равна средней

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим! Давайте разберем это.

Для начала, представим равнобокую трапецию, внутри которой окружность касается всех ее сторон. Пусть у нас есть равнобокая трапеция ABCD, где AB и CD — параллельные основания, а BC и AD — боковые стороны. Предположим также, что окружность вписана в эту трапецию и касается всех сторон.

Теперь, чтобы доказать, что боковая сторона трапеции равна средней линии, мы можем использовать свойство окружности, касающейся сторон трапеции. Когда окружность касается сторон трапеции, точка касания лежит на прямой, перпендикулярной к этой стороне.

Посмотрим на треугольники трапеции: ABC и ADC. Они являются равнобедренными из-за свойств равнобокой трапеции (AB = DC). Поскольку окружность касается всех сторон трапеции, она также касается их продолжений. Поэтому точки касания окружности с продолжениями боковых сторон трапеции будут равноудалены от точки пересечения оснований трапеции (то есть от точки пересечения AB и CD).

Таким образом, боковая сторона BC и ее продолжение, а также сторона AD и ее продолжение, образуют две пары равных радиусов окружности, и эти радиусы равноудалены от точки пересечения оснований трапеции. Это делает BC и AD равными между собой, поскольку они соединяют равные точки на окружности.

Итак, мы доказали, что боковая сторона трапеции равна средней линии.

Я надеюсь, это объяснение помогло вам понять доказательство! Если у вас есть еще вопросы или что-то нужно уточнить, не стесняйтесь спрашивать.