Question

1.Вычислите расстояние от начала координат до середины отрезка MN, если М(2; -1; 3), N(-1; 3; 1). 2. Найдите длину вектора m=p-2q , если p(-3;2;1), q(0;-3;-4).

Answer 1

Пусть К(x;y;z)- середина отрезка MN
x=(2-1):2=-0,5
y=(-1+3):2=1
z=(3+1):2=2
O(0;0;0)- начало координат
|KO|=√((-0,5)²+1²+2²)=√(5,25)
2)Найдём координаты вектора m(x;y;z)
x=-3-2·0=-3
y=2-2·(-3)=8
z=1-2·(-4)=9
|m|=√((-3)²+8²+9²)=√154

Answer 2

Конечно, рассмотрим оба вопроса.

1. Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка \(MN\), сначала найдем координаты середины отрезка. Для этого используем формулу нахождения средней точки между двумя точками в трехмерном пространстве: Координаты середины отрезка \(MN\) можно найти, усреднив соответствующие координаты точек \(M\) и \(N\):

\(M(2; -1; 3)\) и \(N(-1; 3; 1)\)

Координаты середины \(M\) и \(N\) будут:

\(x = \frac{x_M + x_N}{2}\), \(y = \frac{y_M + y_N}{2}\), \(z = \frac{z_M + z_N}{2}\)

Рассчитаем:

\(x = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}\)

\(y = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)

\(z = \frac{3 + 1}{2} = 2\)

Получили точку \(P(\frac{1}{2}; 1; 2)\), которая является серединой отрезка \(MN\).

Теперь, чтобы найти расстояние от начала координат до точки \(P\), воспользуемся формулой для расчета длины вектора от начала координат до точки в трехмерном пространстве:

Длина вектора \(OP\) (где \(O\) - начало координат, \(P\) - точка) вычисляется как \(|OP| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x, y, z\) - координаты точки \(P\).

Для точки \(P(\frac{1}{2}; 1; 2)\):

\(|OP| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + 2^2}\)

\(|OP| = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 4}\)

\(|OP| = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\)

Таким образом, расстояние от начала координат до середины отрезка \(MN\) равно \(\frac{3}{2}\).

2. Чтобы найти длину вектора \(m = p - 2q\), где \(p(-3; 2; 1)\) и \(q(0; -3; -4)\), вычислим разность векторов \(p\) и \(2q\), а затем найдем ее длину.

Разность векторов \(p\) и \(2q\) будет:

\(m = p - 2q = (-3; 2; 1) - 2(0; -3; -4)\)

\(m = (-3; 2; 1) - (0; -6; -8) = (-3; 2; 1) - (0; -6; -8) = (-3; 8; 9)\)

Длина вектора \(m\) вычисляется как \(|m| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x, y, z\) - компоненты вектора \(m\).

Для вектора \(m(-3; 8; 9)\):

\(|m| = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + 9^2}\)

\(|m| = \sqrt{9 + 64 + 81}\)

\(|m| = \sqrt{154}\)

Таким образом, длина вектора \(m\) равна \(\sqrt{154}\).