Question

прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С опущена высота CD . Найдите гипотенузу AB , если АС =15 см AD = 4 см

Answer 1

АС=15, АД=4
АС = корень(АД*АВ)
АС в квадрате = АД*АВ, 225=4АВ, АВ=225/4=56,25

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае треугольник ABC прямоугольный, где угол C прямой, и высота CD опущена из вершины угла C на гипотенузу AB.

Обозначим длину гипотенузы AB как c, а длины катетов AC и BC как a и b соответственно. Тогда теорема Пифагора записывается следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Мы знаем, что AC = 15 см (длина катета), AD = 4 см (высота). Также, заметим, что треугольник ADC является подобным треугольнику ABC, так как угол ADC прямой (в силу перпендикулярности высоты) и угол CAB тоже прямой. Следовательно, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны.

\[\frac{AD}{AC} = \frac{CD}{CB}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{15} = \frac{CD}{CB}\]

Теперь найдем длину CD:

\[CD = \frac{4}{15} \cdot CB\]

Также, зная, что \(AC^2 = AD \cdot CD\), подставим значения:

\[15^2 = 4 \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot CB\right)\]

\[225 = \frac{16}{15} \cdot CB^2\]

Умножим обе стороны на \(\frac{15}{16}\):

\[CB^2 = \frac{225 \cdot 15}{16} = \frac{225 \cdot 15}{16} = \frac{225 \cdot 15}{16}\]

Теперь найдем CB:

\[CB = \sqrt{\frac{225 \cdot 15}{16}}\]

\[CB = \frac{\sqrt{225 \cdot 15}}{4}\]

\[CB = \frac{15 \cdot \sqrt{15}}{4}\]

Теперь у нас есть длины AC и CB, и мы можем применить теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

\[AB^2 = AC^2 + CB^2\]

\[AB = \sqrt{AC^2 + CB^2}\]

\[AB = \sqrt{15^2 + \left(\frac{15 \cdot \sqrt{15}}{4}\right)^2}\]

\[AB = \sqrt{225 + \frac{225 \cdot 15}{16}}\]

\[AB = \sqrt{\frac{16 \cdot 225 + 225 \cdot 15}{16}}\]

\[AB = \sqrt{\frac{3600}{16}}\]

\[AB = \sqrt{225}\]

\[AB = 15\]

Итак, длина гипотенузы AB равна 15 см.