Question

Краткое доказательство теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Answer 1

 В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС 

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС . Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Answer 2

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника, также известная как теорема синусов, позволяет выразить отношения сторон треугольника через синусы его углов. Предположим, у нас есть треугольник ABC, где стороны обозначаются как a, b и c, а углы как A, B и C, соответственно.

Теорема о синусах формулируется следующим образом:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Давайте рассмотрим краткое доказательство этой теоремы.

Доказательство:

1. Построение высоты: Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту \(h\) из вершины A на сторону \(BC\). Это создаст два прямоугольных треугольника: ABH и ACH.

2. Синус угла A: Синус угла A в треугольнике ABH определяется как \(\sin A = \frac{h}{b}\), где \(b\) - основание треугольника ABH.

3. Синус угла B: Синус угла B в треугольнике ACH определяется как \(\sin B = \frac{h}{c}\), где \(c\) - основание треугольника ACH.

4. Отношение сторон к синусам углов: Из пунктов 2 и 3 получаем, что \(h = b \cdot \sin A\) и \(h = c \cdot \sin B\). Разделим оба выражения на \(\sin A\) и \(\sin B\) соответственно: \[\frac{h}{\sin A} = b \quad \text{и} \quad \frac{h}{\sin B} = c\]

5. Итоговая формула: Подставим выражения из пункта 4 в теорему о синусах: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Таким образом, теорема о синусах дает нам отношения между сторонами и синусами соответствующих углов в треугольнике, что может быть полезно при решении различных задач в геометрии.