Question

В каком отношении центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису на AD, если стороны треугольника равны a,b,c?

Answer 1

Центр вписанной в треугольник окружности ---это точка пересечения биссектрис треугольника...
обычно сторону против вершины А обозначают (а), против вершины В ---(b)
обозначим части биссектрисы AD как (х) и (у)
сторону (а) биссектриса разделит на две части --- обозначим их (z) и (a-z)
искомое отношение х/у
по свойству биссектрис можно записать два отношения (из двух получившихся треугольников:
биссектриса разбивает сторону на два отрезка, пропорциональных прилежащим сторонам)))

Answer 2

Центр вписанной окружности делит биссектрису AD в отношении длин отрезков BD и CD.

Для начала, рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол BAC равен α, угол ABC равен β, а угол BCA равен γ.

Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла BAC, то угол BAD равен углу CAD и равен α/2. Аналогично, угол ABD равен углу ACD и равен α/2.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, так как угол BAD равен α/2. Из этого следует, что BD = AB * sin(α/2).

Также рассмотрим треугольник ACD. Он также является прямоугольным, так как угол CAD равен α/2. Из этого следует, что CD = AC * sin(α/2).

Таким образом, отношение длин отрезков BD и CD равно:

BD/CD = (AB * sin(α/2)) / (AC * sin(α/2)) = AB / AC = b / c.

Ответ: Центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису на отрезки, длины которых соотносятся как b / c.