Question

Найдите площадь треугольника ограниченного прямыми 3x+2y = 6 и y = -9x/4 и осью ординат

Answer 1

1. Подставим точки в первое уравнение
(0;3) (-4;9)

2. Подставим точки во второе уравнение
(0;0) (-4;9)

Из этого следует, что прямые пересекаются в точке (-4;9)

Проводим прямые и получаем треугольник.
Этот треугольник является частью прямоугольника со сторонами 4 и 9;
Площадь одного прямоугольного треугольника (нижнего) = 4•9/2=18
Площадь верхнего прямоугольного треугольника = 6•4/2 = 12
Площадь всего прямоугольника = 4•9 = 36

Площадь нужного нам треугольника = 36-18-12 = 6

Ответ: 6.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного прямыми 3x + 2y = 6, y = -9x/4 и осью ординат, мы можем использовать метод геометрической интерпретации.

Сначала давайте построим график этих прямых, чтобы визуализировать треугольник, который они образуют. Выразим каждую прямую в виде y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - точка пересечения с осью ординат.

Для прямой 3x + 2y = 6: 2y = -3x + 6 y = (-3/2)x + 3

Для прямой y = -9x/4: y = (-9/4)x

Теперь построим график этих прямых:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y1 = (-3/2)*x + 3
y2 = (-9/4)*x

plt.plot(x, y1, label='3x + 2y = 6')
plt.plot(x, y2, label='y = -9x/4')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График покажет, что прямые пересекаются в точке, которую мы можем найти решив систему уравнений:

3x + 2y = 6 y = -9x/4

Решая эту систему, мы найдем x = -8/15 и y = 12/5. Это точка пересечения прямых.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, нам нужно найти высоту треугольника, которая будет равна расстоянию от точки пересечения прямых до оси ординат. Так как ось ординат находится на расстоянии x = 0 от точки пересечения, высота треугольника будет равна y = 12/5.

Далее, мы можем найти основание треугольника, которое будет равно расстоянию между двумя точками пересечения прямых с осью ординат. Это можно сделать, решив уравнение y = -9x/4 для x = 0:

y = -9(0)/4 y = 0

Таким образом, основание треугольника будет равно y = 0.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу площади треугольника:

Площадь = (1/2) * основание * высота

Подставляя значения, полученные выше, в эту формулу, мы получим:

Площадь = (1/2) * 0 * (12/5) = 0

Таким образом, площадь треугольника, ограниченного прямыми 3x + 2y = 6, y = -9x/4 и осью ординат, равна 0.