Question

Какая из медиан равнобедренного треугольника является одновременно и биссектрисой, и высотой? 1) проведённая к боковой стороне 2) проведённая к основанию 3) наименьшая по длине 4) все три медианы

Answer 1

Я думаю, что проведенная к основанию(правильный ответ 2)

Answer 2

В равнобедренном треугольнике одновременно биссектрисой и высотой является медиана, проведенная к основанию (вариант 2).

Для доказательства данного утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC. Пусть M - середина стороны BC. Тогда AM - медиана, проведенная к основанию.

Докажем, что AM одновременно является биссектрисой и высотой треугольника ABC.

1. Для начала докажем, что AM является биссектрисой угла BAC. Рассмотрим треугольник ABM. Так как M - середина стороны BC, то AM - медиана, и она делит сторону BC пополам. Также из условия AB=AC следует, что BM=MC. Значит, треугольник ABM равнобедренный, и углы BAM и BMA равны. Поскольку AM является медианой, то она делит угол BAC на два равных угла BAD и CAD. Значит, AM является биссектрисой угла BAC.

2. Теперь докажем, что AM является высотой треугольника ABC. Проведем высоту CH, где H - точка пересечения медианы AM и высоты CH (H лежит на стороне BC). Из теоремы о поперечных линиях в треугольнике следует, что медиана делит высоту пополам. Так как M - середина стороны BC, то HM=MC и AM=MB. Значит, медиана AM делит высоту CH на две равные части. Следовательно, AM является высотой треугольника ABC.

Таким образом, медиана, проведенная к основанию (вариант 2), одновременно является биссектрисой и высотой в равнобедренном треугольнике ABC.