Question

Найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 54 см в квадрате, а тангенс острого угла равен 3/4.

Answer 1

х-один катет

у-второй катет

tga=3/4=x/y

S=54=x*y/2

получаем систему уравнений

{х/у=3/4

{х*у=54*2 

x=3y/4

3y*y/4=108

y*y=108*4/3

y^2=144

y=12см -один катет 

х=3*12/4=9 см - второй катет

с^2=12^2+9^2=144+81=225

c=15 см - гипотенуза 

Answer 2

1. Находим катеты.

    Пусть один катет равен а см, второй - b см. Зная, что площадь треугольника равна 54 см², составляем первое уравнение.

S=½ah; ah=2S

ab=108 

Зная, чему равен тангенс, составляем второе уравнение.

а/b=3/4

Получили систему уравнений:

$\left \{ {{ab=108} \atop {\frac{a}{b}=\frac{3}{4}}} \right$

$\frac{3b^2}{4}=108$

b²=144

b=12 см

а=(3b)/4=9 (см)

2. Находим гипотенузу по теореме Пифагора:

с²=а²+b²

с=$\sqrt{12^2+9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15$ (см)

Ответ. 15 см. 

Answer 3

Ответ: Для решения этой задачи можно использовать следующие формулы:

- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$ - Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$\tan \alpha = \frac{a}{b}$$ - Теорема Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$

Из первой формулы можно выразить один из катетов через другой и площадь: $$a = \frac{2S}{b}$$

Подставив это во вторую формулу, получим уравнение относительно одного катета: $$\tan \alpha = \frac{2S}{b^2}$$

Решая это уравнение, находим значение катета $$b$$: $$b = \sqrt{\frac{2S}{\tan \alpha}}$$

Подставив известные данные, получим: $$b = \sqrt{\frac{2 \cdot 54}{\frac{3}{4}}} \approx 10.58$$

Теперь, зная один катет, можно найти другой из первой формулы: $$a = \frac{2S}{b}$$

Подставив известные данные, получим: $$a = \frac{2 \cdot 54}{10.58} \approx 20.34$$

Наконец, используя теорему Пифагора, находим длину гипотенузы: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Подставив известные данные, получим: $$c = \sqrt{20.34^2 + 10.58^2} \approx 23.07$$

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 23.07 см.