Question

Векторы a и b не коллинеарны . Найти такое число x(если это возможно) чтобы векторы p и q были коллинеарны . p=2a-b ; q=a+xb. Пожалуйста с формулой

Answer 1

Нудный подход: вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно 0.
$\vec p=2\vec a-\vec b ;\quad\vec q=\vec a+x\vec b$
$(2\vec a-\vec b)\times(\vec a+x\vec b)=0\\ 2\vec a\times \vec a-\vec b \times \vec a+2\vec a\times x\vec b-\vec b\times x\vec b=0\\ -\vec b \times \vec a+2x\vec a\times \vec b=0\\ (2x+1)(\vec a\times \vec b)=0\\ 2x+1=0\\ x=-\dfrac12$

А можно так: два вектора коллинеарны, если один равен другому, умноженному на некоторое число. Пусть это число y.
2a - b = y(a + xb)
(2 - y)a - (1 + xy) b = 0
Так как вектора a, b неколлинеарны, то любая их нетривиальная линейная комбинация не равна нулю (иначе: для любых чисел k, m, одновременно не равных нулю, вектор ka + mb не нулевой). Тогда оба коэффициента должны обратиться в ноль:
2 - y = 0 
y = 2
и
1 + xy = 0
1 + 2x = 0
x = -1/2

Answer 2

Для того чтобы векторы p и q были коллинеарными, необходимо, чтобы они были пропорциональными. Это означает, что вектор p можно представить в виде p = kq, где k - некоторое число.

В данном случае у нас даны векторы a и b, и мы ищем такое число x, чтобы векторы p и q были коллинеарными.

Для начала выразим векторы p и q через векторы a и b:

p = 2a - b q = a + xb

Теперь заменим вектор p в выражении для вектора q:

q = a + xb = kq a + xb = ka + kxb

Так как a и b не коллинеарны, то векторы a и b линейно независимы, что означает, что они не могут быть равными нулевому вектору одновременно.

Исключим из уравнения xb и получим:

ka = a (kx - 1)b = 0

Так как вектор b не равен нулевому вектору, то (kx - 1) должно быть равно 0. Решим это уравнение относительно x:

kx - 1 = 0 kx = 1 x = 1/k

Таким образом, для того чтобы векторы p и q были коллинеарными, число x должно быть равно 1/k, где k - произвольное число.