Question

Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС=12см?

Answer 1

Медиана 
AM=MC=6 
Точка О - точка пересечения AD и BM. 
Треугольник ABO равен треугольнику AOM (по общей стороне АО и двум прилежащим углам) - > AB=AM=6

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где AC = 12 см, и AD - медиана, перпендикулярная биссектрисе треугольника ABC.

Мы знаем, что медиана AD перпендикулярна биссектрисе треугольника ABC. Поскольку AD является медианой, она делит сторону BC пополам. Обозначим точку пересечения медианы и биссектрисы как точку M.

Теперь у нас есть два треугольника: ADM и BCM.

Поскольку AD делит BC пополам, BM = CM.

Также у нас есть то, что медиана AD перпендикулярна биссектрисе, следовательно, треугольник ADM прямоугольный.

Теперь вспомним, что в прямоугольном треугольнике медиана делит другую сторону пополам. Таким образом, AM = MD.

Теперь рассмотрим треугольник BCM. У нас есть BM = CM, и мы знаем, что угол при вершине B делен на две равные части биссектрисой. Следовательно, угол CMB = угол BCA.

Таким образом, треугольники ADM и BCM подобны по сторонам и углам (по углам они равны, а по сторонам BM:MD = CM:MA).

Теперь мы можем использовать соотношение сторон подобных треугольников:

\(\frac{BM}{MD} = \frac{CM}{MA}\)

Заменяем BM = CM (поскольку AD - медиана и делит сторону BC пополам) и AM = MD (поскольку AD - медиана):

\(\frac{CM}{CM} = \frac{CM}{MA}\)

Отсюда получаем, что MA = CM.

Теперь у нас есть, что AM = MD и MA = CM, следовательно, AM = MD = MA = CM.

Таким образом, точка M - это середина стороны AC. Теперь у нас есть два равных треугольника: ADM и BCM.

Теперь давайте обозначим AB как x, тогда MC = MA = x/2.

Также, у нас есть AC = 12 см.

Теперь мы можем записать уравнение:

\(MC + CM = AC\)

\(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 12\)

Решаем уравнение:

\(x = 12\)

Таким образом, сторона AB равна 12 см.