Question

Треугольник абс- равнобедренный. Уравнения боковых сторон 3x+y=0 и -x+3y=0. Точка (5;0) лежит на основании. Найти координаты вершин треугольника

Answer 1

По уравнениям боковых сторон 3x+y=0 и -x+3y=0 видно, что они проходят  через начало координат - это одна из вершин треугольника: О(0;0).
Основание равнобедренного треугольника перпендикулярно его высоте (она же и биссектриса угла при вершине).
Находим уравнения биссектрис угла при вершине О:
$\frac{A_1x+B_1y+C_1}{ \sqrt{A_1^2+B_1^2} } =+- \frac{A_2x+B_2y+C_2}{ \sqrt{A_2^2+B_2^2} }$
1) (3х+у)/√10 = (-х+3у)/√10
    3х+у = -х+3у
    4х = 2у
     у = 2х  не подходит (проходит выше сторон треугольника).

2) (3х+у)/√10 = -(-х+3у)/√10
    3х+у = -(-х+3у)
    2х = -4у
     у = (-1/2)х.
    Уравнение перпендикулярной прямой у = 1/(-к)+в
    В нашем случае уравнение основания (назовём его АВ) будет таким:
    у = 1(1/2)х+в = 2х+в.
    Подставим координаты известной точки на основании (5;0):
    0 = 2*5+в  отсюда в = -10.
    Уравнение АВ: у = 2х-10  или 2х-у-10 = 0.
    Координаты вершин А и В находим как как точки пересечения боковых сторон с основанием.
$\left \{ {3x+y=0} \atop {2x-y-10=0}} \right.$
Сложив уравнения, получаем 5х-10 = 0, отсюда х = 10/5 = 2.
у = -3х = -3*2 = -6. Это точка А(2; -6).
$\left \{ {{-x+3y=0} \atop {2x-y-10=0}} \right.$
Умножим первое уравнение на 2 и сложим:
5у = 10,  у = 10/5 = 2,  х = 3у = 3*2 = 6.
Это точка В(6; 2).

Ответ: вершины треугольника  О(0;0), А(2;-6), В(6;2).

Answer 2

Для начала, найдем точку пересечения боковых сторон треугольника. Для этого решим систему уравнений:

3x + y = 0 -x + 3y = 0

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 1, затем сложим полученные уравнения:

9x + 3y = 0 -x + 3y = 0

Получим: 8x = 0

Отсюда следует, что x = 0. Подставим это значение в любое уравнение, например, во второе:

-0 + 3y = 0 3y = 0 y = 0

Таким образом, точка пересечения боковых сторон треугольника имеет координаты (0, 0).

Теперь найдем координаты вершин треугольника. Известно, что точка (5, 0) лежит на основании треугольника. Основание треугольника — это отрезок между вершинами, не совпадающими с точкой пересечения боковых сторон. То есть, одна из вершин треугольника имеет координаты (5, 0).

Также известно, что треугольник равнобедренный, поэтому вторая вершина находится на таком же расстоянии от точки пересечения боковых сторон, как и первая вершина. Поскольку точка (0, 0) находится на оси симметрии треугольника, то координаты второй вершины будут иметь знаки, противоположные координатам первой вершины.

Таким образом, координаты вершин треугольника будут следующими: 1) (5, 0) 2) (-5, 0) 3) (0, 0)