Question

Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды со стороной основания a равен α. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.

Answer 1

Нарисуем правильную треугольную пирамиду. В основании её лежит правильный треугольник. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения медиан треугольника. Построим линейный угол двугранного угла. Для этого проведём высоту боковой грани.. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и на биссектрисе линейного угла. Радиусом будет перпендикуляр из центра шара на основание пирамиды

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема шара, а также свойством правильной треугольной пирамиды.

Пусть A - вершина пирамиды, а B, C, D - вершины основания. Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то стороны основания BC, CD и BD равны между собой и обозначим их как a.

Найдем высоту пирамиды:

Поскольку пирамида правильная, то высота пирамиды h будет равна высоте бокового равностороннего треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABD:

AB^2 = AD^2 - BD^2

AB^2 = a^2 - (a/2)^2

AB^2 = a^2 - a^2/4

AB^2 = 3a^2/4

AB = sqrt(3a^2/4)

AB = a * sqrt(3)/2

Теперь у нас есть высота пирамиды h, которую мы можем использовать для нахождения объема шара.

Найдем радиус шара:

Радиус шара R будет равен половине высоты пирамиды h. То есть, R = h/2.

R = (a * sqrt(3)/2) / 2

R = a * sqrt(3) / 4

Найдем объем шара:

Объем шара V можно найти с помощью формулы:

V = (4/3) * π * R^3

V = (4/3) * π * (a * sqrt(3) / 4)^3

V = (4/3) * π * (a^3 * sqrt(3) / 64)

V = (π * sqrt(3) / 48) * a^3

Таким образом, объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду со стороной основания a, равен (π * sqrt(3) / 48) * a^3.