Question

Ребро MA пирамиды MABC перпендикулярно плоскости ее основания AB=АC=18см, угол BAC=90градусов. Угол между плоскостями основания и грани MBC равен 45 градусов. Вычислите: а) расстояние от вершины пирамиды до прямой BC б) площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Пусть AH - высота в треугольнике BAC. 
Точка H лежит на стороне BC и делит ее пополам, так как BAC - равнобедренный.
AH = sqrt(2*(18)^2) = 18sqrt2
MHA - прямоугольный и равнобедренный, так как его острые углы равны 45.
Следовательно, MA = AH = 18/sqrt2, и MH = sqrt(2*(AH)^2) = 18

S(ACM) = S(ABM) = (1/2)*(18/sqrt2)^2 = 324/4 = 81
S(BAC) = (1/2)*18*18 = 324/2 =162
BC = sqrt(2*18^2) = 18sqrt2
S(BMC) = (1/2)*BC*18sqrt2 = 324*2/2=324
Площадь полной поверхности 81 + 81 + 162 + 324 = 648

Ответ: 18; 648

Answer 2

Дано: - Ребро MA пирамиды MABC перпендикулярно плоскости ее основания AB = AC = 18 см - Угол BAC = 90 градусов - Угол между плоскостями основания и грани MBC равен 45 градусов

а) Расстояние от вершины пирамиды до прямой BC:

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора в плоскости ABC. Обозначим вершину пирамиды как O. Тогда можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABO и ACO.

Поскольку AB = AC = 18 см, треугольник ABO и треугольник ACO являются прямоугольными треугольниками со сторонами 18 см и гипотенузой AO.

Применяя теорему Пифагора к треугольникам ABO и ACO, мы можем выразить AO:

AB^2 + BO^2 = AO^2 AC^2 + CO^2 = AO^2

Поскольку AB = AC = 18 см, мы можем упростить эти уравнения:

18^2 + BO^2 = AO^2 18^2 + CO^2 = AO^2

Также, поскольку треугольник BCO является прямоугольным треугольником с углом между плоскостью основания и гранью MBC равным 45 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы выразить CO через сторону BC.

Согласно теореме синусов для треугольника BCO:

sin(C) = CO / BC

Так как угол C равен 45 градусов, а BC равно 18 см, мы можем найти CO:

CO = BC * sin(C) CO = 18 * sin(45)

Теперь, зная CO, мы можем подставить его в уравнение для AO:

18^2 + (18 * sin(45))^2 = AO^2

Решив это уравнение, мы найдем значение AO, которое является расстоянием от вершины пирамиды до прямой BC.

б) Площадь полной поверхности пирамиды:

Чтобы вычислить площадь полной поверхности пирамиды, нам нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности, а затем сложить их.

Площадь основания можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника, так как треугольник ABC является прямоугольным:

Площадь основания = (1/2) * AB * AC

Площадь основания = (1/2) * 18 * 18

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу для площади треугольника:

Площадь боковой поверхности = Площадь треугольника MBC

Чтобы найти площадь треугольника MBC, мы можем использовать формулу для площади треугольника, выраженную через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника = (1/2) * BC * CO * sin(угол MBC)

Мы уже вычислили CO, BC равно 18 см, а угол MBC равен 45 градусов. Подставляя эти значения, мы можем вычислить площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности = (1/2) * 18 * (18 * sin(45)) * sin(45)

Теперь, имея площадь основания и площадь боковой поверхности, мы можем сложить их, чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды = Площадь основания + Площадь боковой поверхности

Окончательно, подставляя значения и решая выражения, мы можем найти расстояние от вершины пирамиды до прямой BC и площадь полной поверхности пирамиды.