Question

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47 градусов. Касательные к окружности, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ

Answer 1

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Соединим точки А и В с центром круга М.

В четырехугольнике АОВМ :

<A=<B=90°

<M=47°

<AOB=360-90-90-47=133°

Answer 2

<A=<B=90°

<M=47°

<AOB=360-90-90-47=133°

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и касательных.

1. Свойство касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

2. Следствие: Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине угла, образованного хордой в центре окружности.

Итак, у нас есть хорда AB, стягивающая дугу окружности на 47 градусов. Значит, угол в центре (угол AOB) равен удвоенному углу, образованному хордой AB. Таким образом, угол AOB равен 2 * 47 = 94 градуса.

Теперь вспомним свойство касательной: она перпендикулярна радиусу в точке касания. Значит, угол между касательной и радиусом в точке А (угол OAB) также равен 94 градуса (так как угол AOB мы только что нашли).

Таким образом, у нас есть треугольник OAB, и мы знаем углы OAB и OBA. Найдем угол AOB:

\[ \angle AOB = 180 - \angle OAB - \angle OBA \] \[ \angle AOB = 180 - 94 - 94 \] \[ \angle AOB = -8 \]

Так как угол AOB получился отрицательным, это значит, что мы выбрали неверное направление обхода окружности при измерении угла. Используем правило, что угол в центре, стягивающий дугу, равен углу, образованному этой дугой:

\[ \angle AOB = 47 \]

Таким образом, угол AOB равен 47 градусов.