Question

Произведение длин оснований прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равно 37. Найдите площадь этой трапеции.

Answer 1

Пусть основания трапеции a,b (a>b), а боковые стороны h,l
Нам нужно найти 12(a+b)⋅h,
но т.к. a+b=h+l, то ищем 12(h+l)⋅h
l2=h2+(a-b)2
Но (a-b)2=(a+b)2-4ab=(h+l)2-148
=> l2=h2+(h+l)2-148
Раскрыть скобки, упростить немного, привести к виду

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться знанием о прямоугольных трапециях и окружностях.

Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые, а два других угла острые. Если мы можем вписать окружность в такую трапецию, то это значит, что средняя линия трапеции (среднее арифметическое длин её оснований) будет равна диаметру этой окружности.

Давайте обозначим длины оснований прямоугольной трапеции как a и b, а среднюю линию как c. Тогда у нас есть следующее уравнение:

c = (a + b) / 2

Известно, что произведение длин оснований равно 37:

ab = 37

Теперь мы знаем и c, и ab. Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам нужно знать её высоту (h). Мы можем использовать теорему Пифагора и выразить h через a, b и c:

h^2 = c^2 - [(b - a) / 2]^2

Теперь мы можем подставить известные значения и вычислить h:

h^2 = (a + b)^2 / 4 - (b - a)^2 / 4 h^2 = [(a + b)^2 - (b - a)^2] / 4 h^2 = [4ab] / 4 h^2 = ab

Теперь у нас есть выражение для h^2. Мы знаем, что ab = 37, поэтому:

h^2 = 37

Теперь мы можем найти высоту h:

h = √37

И, наконец, мы можем найти площадь прямоугольной трапеции, используя следующую формулу:

S = (a + b) * h / 2

Подставим известные значения:

S = (a + b) * √37 / 2

И это будет площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность.