Question

В треугольнике авс на стороне вс выбрана точка а1 так, что ва1 : а1с=1:3, точка с1 середина ав. Найдите ак : ка1, где к - точка пересечения аа1 и сс1.

Answer 1

Решение: Напишу с начало какие я здесь факты буду использовать теореме Чевы,  и  Ван-Обеля можете посмотреть в интернете.  (просто писать здесь надо много) 

Пусть B1, будет пересечением ВК с АС,  тогда по теореме    Чевы  =>
(BA1*B1C*AC1)/(A1C*B1A*C1B)=1
это просто условие того что они будут пересекаться в одной точке.
У нас BA1=1,  A1C=3,  C1B=1/2,   AC1=1/2 
1*B1C*1/2 / 3*B1A*1/2   = 1 
B1C/2 / 3B1A/2 = 1
B1C/B1A=3

По теореме Ван Обеля 
AK/KA1 = AC1/C1B + AB1/B1C  = 1+ 1/3 = 4/3 

Answer 2

Дано треугольник АВС, где на стороне АВ выбрана точка А1 так, что ВА1 : А1С = 1:3. Также дано, что точка С1 является серединой отрезка АС. Нам нужно найти отношение АК : КА1, где К - точка пересечения прямых АА1 и СС1.

Для начала, давайте обратимся к свойству средней линии треугольника. В треугольнике АВС, С1 является серединой отрезка АС, поэтому СК1 является половиной длины отрезка АК. Это означает, что АК : КА1 = 2:1.

Теперь давайте рассмотрим отношение ВА1 : А1С. Дано, что ВА1 : А1С = 1:3. Мы можем представить ВА1 и А1С как ВА1 : ВС и А1С : ВС, используя теорему о разделении отрезка внешним отношением. Таким образом, ВА1 : А1С = ВА1 : ВС : А1С : ВС.

Так как ВА1 : А1С = 1:3, мы можем записать это отношение как ВА1 : ВС : А1С : ВС = 1 : 3. Обратите внимание, что сумма частей этого отношения равна 4 (1 + 3).

Теперь мы знаем, что ВА1 : ВС : А1С : ВС = 1 : 3, и сумма частей этого отношения равна 4. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти отношение АК : КА1.

Поскольку АК и КА1 образуют прямую линию, они также делятся в том же отношении, что и ВА1 : А1С. Таким образом, АК : КА1 = ВА1 : А1С = 1 : 3.

Мы также знаем, что АК : КА1 = 2:1. Поэтому мы можем установить равенство:

1 : 3 = 2 : 1.

Мы можем умножить обе части этого равенства на 2, чтобы получить:

2 : 6 = 2 : 1.

Теперь мы видим, что обе части равны 2 : 1, поэтому отношение АК : КА1 равно 2 : 1.

Ответ: Отношение АК : КА1 равно 2 : 1.