Question

Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди з висотою 4см і бічним ребром 5см.

Answer 1

Проекцией бокового ребра на основание будет радиус R окружности, описанной вокруг основания. Поэтому сразу находим R = корень(5^2 - 4^2) = 3.

высота треугольника (в основании пирамиды) равна h = R*3/2 = 9/2;

боковая сторона равна  a = h/sin(60) = корень(3)*3; 

площадь основания S = a*h/2 = корень(3)*27/4;

объем пирамиды V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9

 

Технически безукоризненный способ - из теоремы синусов

a = 2*R*sin(60) = 2*3*корень(3)/2 = корень(3)*3; a^2 = 27.

S = a^2*sin(60)/2 =  27*корень(3)/4;

V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9

Answer 2

Для знаходження об'єму правильної трикутної піраміди необхідно знати її висоту та довжину бічного ребра.

Об'єм піраміди можна знайти за формулою: V = (1/3) * S * h,

де V - об'єм піраміди, S - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Оскільки у нас правильна трикутна піраміда, то її основою є рівносторонній трикутник. Формула для площі рівностороннього трикутника: S = (a^2 * √3) / 4,

де a - довжина сторони трикутника.

В нашому випадку, бічне ребро піраміди дорівнює 5 см, тому довжина сторони трикутника також дорівнює 5 см.

Підставляємо відомі значення в формули:

S = (5^2 * √3) / 4 = (25 * √3) / 4,

V = (1/3) * (25 * √3) / 4 * 4 = (25 * √3) / 12 * 4 = (25 * √3) / 3.

Отже, об'єм правильної трикутної піраміди з висотою 4 см і бічним ребром 5 см дорівнює (25 * √3) / 3 кубічних сантиметрів.