Question

Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от окружности основания дугу в 120. Радиус основания цилиндра равен 20см, а угол между диогоналтностью сечения и осью цилиндра равен 60.найдите объём цилиндра

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Понял, давай разберём. У нас есть цилиндр, и сечение, параллельное его оси, образует угол 120° на окружности его основания. Радиус основания цилиндра равен 20 см, и угол между диагональю сечения и осью цилиндра составляет 60°. Нам нужно найти объём цилиндра.

Для начала, обратимся к сечению цилиндра. Когда параллельная оси цилиндра плоскость сечения отсекает дугу на окружности основания, угол, под которым она это делает, равен углу, образованному радиусом и хордой (отрезком, соединяющим две точки на окружности).

Так как у нас дан угол в 120°, это означает, что хорда, образованная сечением, составляет 120° на окружности с радиусом 20 см. Отсюда мы можем найти длину этой хорды, используя соотношение между углом и длиной дуги окружности:

Длина дуги = \( \frac{угол}{360°} \times 2\pi r \), где \( r \) - радиус окружности.

Для нашего случая: Длина дуги = \( \frac{120°}{360°} \times 2\pi \times 20 \) см.

Вычислим длину дуги: Длина дуги = \( \frac{1}{3} \times 2\pi \times 20 \) см. Длина дуги = \( \frac{40}{3} \pi \) см.

Теперь у нас есть хорда с длиной \( \frac{40}{3} \pi \) см.

Следующий шаг - найти высоту сечения цилиндра. Мы знаем, что угол между диагональю сечения и осью цилиндра составляет 60°. Это означает, что высота сечения равна \( r \times \sin(60°) \), где \( r \) - радиус основания цилиндра.

Высота сечения = \( 20 \times \sin(60°) \) см.

Вычислим высоту сечения: Высота сечения = \( 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \) см. Высота сечения = \( 10\sqrt{3} \) см.

Теперь, когда у нас есть длина хорды и высота сечения, мы можем найти площадь сечения. Площадь сечения цилиндра это \( \frac{1}{2} \times \text{длина хорды} \times \text{высота сечения} \).

Площадь сечения = \( \frac{1}{2} \times \frac{40}{3} \pi \times 10\sqrt{3} \) см².

Площадь сечения = \( \frac{200}{3} \pi \sqrt{3} \) см².

Наконец, чтобы найти объём цилиндра, используем формулу \( V = \text{площадь сечения} \times \text{высота цилиндра} \). Высота цилиндра равна высоте сечения.

Объём цилиндра = \( \frac{200}{3} \pi \sqrt{3} \times 10\sqrt{3} \) см³.

Объём цилиндра = \( \frac{2000}{3} \pi \times 3 \) см³.

Объём цилиндра = \( 2000 \pi \) см³.

Таким образом, объём цилиндра составляет \( 2000 \pi \) кубических сантиметров.