Question

Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а диагонали относятся как √3:√7. Найдите площадь параллелограмма

Answer 1

Параллелограмм ABCD. 
По теореме косинусов в треугольнике АВD квадрат стороны ВD (диагональ параллелограмма) равен: BD² = AB²+AD²-CosA.
По теореме косинусов в треугольнике АCD квадрат стороны AC (диагональ параллелограмма) равен: AC² = AD²+DC²-Cos(180°-A). Заметим, что DC=АВ =2(стороны параллелограмма), угол <D = 180° - <A (углы при основании параллелограмма) и Cos(180°-A)= -CosA. Имеем:
BD² = AB²+AD²-CosA = 20-16CosA.
AC² = AD²+DC²-Cos(180°-A) = 20+16CosA.
BD/AC = √3/√7(дано) Тогда BD²/AC² =3/7. Подставляем значения и получаем:
CosA = 0,5. Значит <A = 60°. Формула площади параллелограмма: S=a*b*SinA = 8*0,866 = 6,928.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам и образуются четыре равных треугольника.

Дано:

Стороны параллелограмма равны 2 и 4. Отношение диагоналей равно √3:√7.

Решение:

1. Найдем длину диагоналей. Пусть длина меньшей диагонали равна х, тогда длина большей диагонали будет равна √7х. Используя отношение диагоналей, получим уравнение: x/√7х = √3/√7. Упростим это уравнение: 1/√7 = √3/√7. Таким образом, длина меньшей диагонали (x) равна √3, а длина большей диагонали (√7х) равна √7√3 = √21.

2. Найдем площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу: площадь = сторона * высота. Высота параллелограмма - это расстояние между противоположными сторонами, которое можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной параллелограмма.

* Для нахождения высоты, образованной диагоналями, используем теорему Пифагора: h^2 = (√21/2)^2 - (2/2)^2 h^2 = 21/4 - 1 h^2 = 20/4 h^2 = 5 h = √5

* Площадь параллелограмма = сторона * высота = 2 * √5 = 2√5.

Ответ:

Площадь параллелограмма равна 2√5.