Question

Точка С — середина отрезка АВ, отрезок DC – расстояние от точки D до прямой AB. Докажите, что луч DC - биссектриса угла ADB.

Answer 1

В треугольнике АDB точка С делит АВ на два равных отрезка. 

Следовательно. DC - медиана. 

По условию DC - расстояние от D до АВ. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной опущенного из точки на прямую перпендикуляра. ⇒ DC⊥АВ⇒ ∠DCA=∠DCB=90°

В ∆  ADC и ∆ BDC стороны АС=ВС, СD- общая, угол. ∠DCА=∡DCВ ⇒

 ∆ АDC=∆CDB по первому признаку равенства. ⇒

∠CDA=∠CDB. из чего следует, что DC - биссектриса угла АDB. Доказано.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что луч DC является биссектрисой угла ADB, мы должны показать, что угол ADC, образованный лучом DC и отрезком AB, равен углу BDA, образованному отрезком AB и лучом DC.

Доказательство:

Для начала, давайте рассмотрим треугольники ADC и BDA. Оба треугольника имеют общую сторону AB и общий угол A. Мы знаем, что точка C является серединой отрезка AB, поэтому стороны AC и BC равны друг другу (AC = BC).

Утверждение 1: Стороны AD и BD также равны друг другу (AD = BD).

*Доказательство Утверждения 1:*

Рассмотрим треугольник ADC. У него есть общая сторона AD с треугольником BDA, и сторона AC равна стороне BC. Кроме того, угол ADC равен углу BDA (по условию). Поэтому треугольники ADC и BDA являются равнобедренными треугольниками. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла делит противолежащую сторону на две равные части. Следовательно, AD = BD.

Теперь, имея AD = BD, мы можем заключить, что угол ADC равен углу BDA.

Заключение:

Мы показали, что угол ADC равен углу BDA, что означает, что луч DC является биссектрисой угла ADB.