Question

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе равна 6,5 см. периметр треугольника 30 см. найдите длину меньшего из катетов треугольника.

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Тогда гипотенуза равна 2•6,5 см = 13 см.
Сумма катетов равна P∆ - длина гипотенузы, т.е. сумма катетов a + b = 30 см - 13 см = 17 см
По теореме Пифагора:
a² + b² = 13²
a + b = 17

a² + b² = 169
b = 17 - a

a² + (17 - a)² = 169
b = 17 - a

a² + 289 - 34a + a² = 169
b = 17 - a

2a² - 34a + 120 = 0
b = 17 - a

a² - 17a + 60 = 0
b = 17 - a

По обратной теореме Виета:
a1 + a2 = 17
a1•a2 = 60
a1 = 5
a2 = 12

Тогда ментшиц катет равен 5 см (т.к. катета взяты случайным образом)

Ответ: 5 см.

Answer 2

Решение задачи:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором известны: - Длина медианы m, проведённой к гипотенузе, равна 6,5 см. - Периметр треугольника P равен 30 см.

Из формулы для медианы в прямоугольном треугольнике получаем: `m = a/2 + b/2` Здесь `a` - длина катета, к которому проведена медиана, а `b` - длина другого катета.

Из этого уравнения: `6.5 = a/2 + b/2` `a/2 = 6.5 - b/2` `a = 2(6.5 - b/2) = 13 - b`

Из формулы для периметра треугольника: `P = a + b + c` Заменим `c` выражением для гипотенузы `c^2 = a^2 + b^2`: `P = a + b + √(a^2 + b^2)` Подставив выражение для `a`: `30 = (13 - b) + b + √((13 - b)^2 + b^2)` Решив это уравнение, находим: `b = 6`

Следовательно, длина меньшего катета треугольника равна 6 см.